Суммирующая функция ряда

Суммирующая функция ряда — функция, которая каждому ряду $U$$U$ ставит в соответствие некоторое число $s(U)$$s(U)$. Примером суммирующей функции может служить $\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k$$\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}u_{k}$. Эта функция определена на множестве всех сходящихся рядов и её значение равно сумме ряда. Так определённую суммирующую функцию называют $s_0$$s_{0}$. Для удобства использования суммирующие функции должны обладать свойствами регулярности (если $U$$U$ - сходящийся ряд, то суммирующая функция $s(U)$$s(U)$ должна существовать и быть равной $s_0(U)$$s_{0}(U)$), и линейности (для любых двух рядов $U$$U$ и $V$$V$ и чисел $a$$a$ и $b$$b$ из существования значений $s(U)$$s(U)$ и $s(V)$$s(V)$ следует существование значения $s(aU+bV)$$s(aU+bV)$ и равенство $s(aU+bV)=as(U)+bs(V)$$s(aU+bV)=as(U)+bs(V)$).

ПримерыПравить

Суммирующей функцией Пуассона-Абеля называется функция, определённая равенством $s_p=\underset{x\to <!--\; \to \; -->1-<!--\; -\; -->0}{lim}\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_k{x}^k$$s_{p}=\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}u_{k}x^{k}$ . Суммирующая функция Пуассона-Абеля является регулярной и линейной.

ЛитератураПравить

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М.: Наука, 1986. — 408 с.