Интеграл Дарбу

Интеграл Дарбу — один из способов обобщения интеграла Римана на любые ограниченные на отрезке функции. Различают верхний и нижний интеграл Дарбу. Интегралы Дарбу геометрически представляют собой верхнюю и нижнюю площадь под графиком.

ОпределениеПравить

Для определения интегралов Дарбу прежде необходимо ввести вспомогательное понятие сумм Дарбу.

 

Нижняя (зеленая) и верхняя (серая) суммы Дарбу на 4 отрезках разбиения

Пусть на отрезке $[a,b]$$[a,b]$  определена функция вещественного переменного $f$$f$ .

Разбиением $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  отрезка $[a,b]$$[a,b]$  будем называть конечное множество точек этого отрезка, включающего в себя точки $a$$a$  и $b$$b$ . Для удобства дальнейших записей будем вводить обозначения. Точки разбиения $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  обозначим за $x_i$$x_{i}$ , причём пронумеруем их в порядке возрастания (начиная с нуля):

$\tau =\left\{{{x}_{0},\ldots {x}_{n}}\right\},\ a={{x}_{0}}<{{x}_{1}}<\ldots <{{x}_{n-1}}<{{x}_{n}}=b$ .

Множество всех разбиений отрезка $[a;b]$$[a;b]$  обозначим за $T$$T$ .

Частичным отрезком разбиения ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i$$\Delta _{i}$  назовём отрезок $[x_{i-<!--\; -\; -->1},x_i]$$[x_{i-1},x_{i}]$ .

${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i=[x_{i-<!--\; -\; -->1},x_i]$$\Delta _{i}=[x_{i-1},x_{i}]$ 

Длину частичного отрезка разбиения обозначим за $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$\Delta x_{i}$ .

$\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i=x_i-<!--\; -\; -->x_{i-<!--\; -\; -->1}$$\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ 

Диаметром разбиения $d$$d$  назовём максимальную длину частичного отрезка разбиения $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$\Delta x_{i}$ .

$d=max\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$d=\max \Delta x_{i}$ 

Точные грани функции на частичных отрезках разбиения обозначим за $m_i$$m_i$  и $M_i$$M_{i}$ .

$m_i=\underset{x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{inf}f(x)$${{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)$ ,

$M_i=\underset{x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{sup}f(x)$${{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)$ .

Тогда, нижней суммой Дарбу $s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$s(f,\tau )$  функции $f$$f$  на разбиении $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  называется

$s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$ 

Верхней суммой Дарбу $S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$S(f,\tau )$  называется

$S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{M}_i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$ 

Тогда нижним интегралом Дарбу $I_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$I_*$  называется

$I_{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->T}{sup}s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )$ 

Верхним интегралом Дарбу $I^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$I^*$  называется

$I^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->T}{inf}S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )$ 

Альтернативные определенияПравить

Существуют также альтернативные определения интегралов Дарбу. Обычно они доказываются как свойства.

• Нижний интеграл Дарбу есть предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть предел верхних.

$I_{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{lim}s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$ 

$I^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{lim}S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$ 

• Нижний интеграл Дарбу есть нижний предел интегральных сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю, а верхний есть верхний предел.

$I_{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$I_{*}=\varliminf _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )$ 

$I^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$I^{*}=\varlimsup _{d(\tau )\to 0}\sigma (f,\tau ,\xi )$ 

СвойстваПравить

Свойства сумм ДарбуПравить

• При любых произвольно взятых двух разбиениях одного и того же отрезка, нижняя сумма Дарбу на одном разбиении не превосходит верхней суммы Дарбу на другом разбиении.

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2\in <!--\; \in \; -->Ts(f,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_1)\le <!--\; \le \; -->S(f,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}_2)$$\forall \tau _{1},\tau _{2}\in T\quad s(f,\tau _{1})\leq S(f,\tau _{2})$ 

• Нижние суммы Дарбу ограничены сверху, а верхние — снизу.

 

Поведение нижней (зеленая) и верхней (серая) сумм Дарбу на измельчении разбиения

• При добавлении к имеющемуся разбиению новых точек нижняя сумма Дарбу никак не может уменьшиться, а верхняя никак не может увеличиться.

$\begin{array}{r}s(f,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })\ge <!--\; \ge \; -->s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\\ S(f,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })\le <!--\; \le \; -->S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\end{array}{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }$${\begin{aligned}s(f,\tau ')\geq s(f,\tau )\\S(f,\tau ')\leq S(f,\tau )\end{aligned}}\quad \tau '$  — измельчение $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ .

Более того, изменению этих сумм можно дать следующую оценку.

Пусть d — диаметр $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , измельчение ${\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime }$$\tau '$  — получено добавлением не более чем $l$$l$  точек к $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ , $M$$M$  и $m$$m$  — точные грани функции $f$$f$  на отрезке $[a;b]$$[a;b]$ . Тогда

$s(f,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })-<!--\; -\; -->s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\le <!--\; \le \; -->(M-<!--\; -\; -->m)ld$$s(f,\tau ')-s(f,\tau )\leq (M-m)ld$ 

$S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})-<!--\; -\; -->S(f,{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}^{\prime })\le <!--\; \le \; -->(M-<!--\; -\; -->m)ld$$S(f,\tau )-S(f,\tau ')\leq (M-m)ld$ 

• Пусть $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$\sigma (f,\tau ,\xi )$  — интегральная сумма. При любом произвольно взятом разбиении с отмеченными точками $(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$(\tau ,\xi )$  верно следующее неравенство:

$s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\le <!--\; \le \; -->S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$s(f,\tau )\leq \sigma (f,\tau ,\xi )\leq S(f,\tau )$ 

• Суммы Дарбу есть точные грани интегральных сумм на данном разбиении. Пусть $\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}$$\Xi$  — множество всех возможных отмеченных точек на разбиении $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$ . Тогда

$s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}{inf}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$s(f,\tau )=\inf _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )$ ,

$S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\Xi <!--\; \Xi \; -->}}{sup}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$S(f,\tau )=\sup _{\xi \in \Xi }\sigma (f,\tau ,\xi )$ .

Свойства интегралов ДарбуПравить

• Для любой ограниченной на отрезке функции интегралы Дарбу существуют и конечны. Для неограниченной сверху функции верхний интеграл равен $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$ , для неограниченной снизу нижний интеграл равен $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ .
• Для сумм и интегралов верны следующие неравенства

$s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\le <!--\; \le \; -->I_{\ast <!--\; \ast \; -->}\le <!--\; \le \; -->I^{\ast <!--\; \ast \; -->}\le <!--\; \le \; -->S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$s(f,\tau )\leq I_{*}\leq I^{*}\leq S(f,\tau )$ 

• Основная лемма Дарбу. Предел нижних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции и равен нижнему интегралу Дарбу. Предел верхних сумм Дарбу при стремлении диаметра разбиения к нулю существует для любой ограниченной функции существует и равен верхнему интегралу Дарбу.

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{lim}s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\exists \lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$  и $I_{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{lim}s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I_{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}s(f,\tau )$ 

$\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{lim}S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$\exists \lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$  и $I^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{d(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})\to <!--\; \to \; -->0}{lim}S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I^{*}=\lim _{d(\tau )\to 0}S(f,\tau )$ 

Основная лемма Дарбу устанавливает эквивалентность первого и второго определения интегралов Дарбу.

• Критерий Дарбу. Интегрируемость по Риману на $[a;b]$$[a;b]$  ограниченной на этом отрезке функции $f$$f$  равносильна равенству верхнего и нижнего интегралов Дарбу на этом отрезке.

$f$$f$  — интегрируема по Риману $\iff <!--\; \iff \; -->I_{\ast <!--\; \ast \; -->}=I^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\Leftrightarrow I_{*}=I^{*}$ 

Вариации и обобщенияПравить

Кратный интеграл ДарбуПравить

По аналогии с кратным интегралом Римана можно определить и кратный интеграл Дарбу. Пусть $G$$G$  — измеримое по Жордану множество, $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  — его разбиение конечным числом измеримых по Жордану множеств. Обозначим множества этого разбиения за ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i$$\Delta _{i}$ .

$\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}=\left\{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_n\right\}$$\tau =\left\{{{\Delta }_{1},\ldots {\Delta }_{n}}\right\}$ 

За $\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$\Delta x_{i}$  обозначим меру Жордана ${\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i$$\Delta _{i}$ .

Множество всех разбиений $G$$G$  будем обозначать $T$$T$ .

Диаметр разбиения $d$$d$  определим как максимум из диаметров множеств разбиения (диаметр множества разбиения — точная верхняя грань расстояний между его точками).

$\underset{i=1}{\overset{n}{max}}\underset{x,y\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{sup}|x-<!--\; -\; -->y|$$\max _{i=1}^{n}\sup _{x,y\in \Delta _{i}}|x-y|$ 

Точные грани функции на множествах разбиения обозначим за $m_i$$m_i$  и $M_i$$M_{i}$ .

$m_i=\underset{x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{inf}f(x)$${{m}_{i}}=\inf _{x\in \Delta _{i}}f(x)$ ,

$M_i=\underset{x\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}_i}{sup}f(x)$${{M}_{i}}=\sup _{x\in \Delta _{i}}f(x)$ .

Тогда, нижней суммой Дарбу $s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$s(f,\tau )$  функции $f$$f$  на разбиении $\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$\tau$  называется

$s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$s(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}\Delta x_{i}$ 

Верхней суммой Дарбу $S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$S(f,\tau )$  называется

$S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{M}_i\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}{x}_i$$S(f,\tau )=\sum _{i=1}^{n}M_{i}\Delta x_{i}$ 

Тогда нижним интегралом Дарбу $I_{\ast <!--\; \ast \; -->}$$I_*$  называется

$I_{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->T}{sup}s(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I_{*}=\sup _{\tau \in T}s(f,\tau )$ 

Верхним интегралом Дарбу $I^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$I^*$  называется

$I^{\ast <!--\; \ast \; -->}=\underset{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}\in <!--\; \in \; -->T}{inf}S(f,\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})$$I^{*}=\inf _{\tau \in T}S(f,\tau )$ 

Все вышеперечисленные свойства сумм Дарбу и интегралов Дарбу, а также альтернативные определения сохраняются.

ЛитератураПравить

• Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс. — 2-е изд., перераб.. — М.: МГУ, 1985. — 662 с. с.
• Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пед. вузов. — М.: Высшая школа, 1999. — 695 с. с. — ISBN 5-06-003596-4.
• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х томах. Том 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных (рус.). — М.: Дрофа, 2003. — 704 p.