Сужение функции

Сужение функции на подмножество $X$$X$ её области определения $D\supset <!--\; \supset \; -->X$$D\supset X$ — функция с областью определения $X$$X$, совпадающая с исходной функцией на всём $X$$X$.

Сужение функции $f$$f$ на $X$$X$ обычно обозначается $f{|}_X$$f|_{X}$ или $f|X$$f|X$. Так, для $f:A\to <!--\; \to \; -->B$$f:A\to B$, и $X\subset <!--\; \subset \; -->A$$X\subset A$, $g=f{|}_X$$g=f|_{X}$ означает, что $g:X\to <!--\; \to \; -->B$$g:X\to B$ и $g(x)=f(x)$$g(x)=f(x)$ для любого $x\in <!--\; \in \; -->X$$x\in X$.

ОпределениеПравить

Пусть дано отображение $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$  и $M\subset <!--\; \subset \; -->X$$M\subset X$ .

Функция $g:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->Y$$g\colon M\to Y$ , которая принимает на $M$$M$  те же значения, что и функция $f$$f$ , называется суже́нием (или, иначе ограничением) функции $f$$f$  на множество $M$$M$ .

Вариации и обобщенияПравить

• Наиболее общее определение сужения реализуется в контексте пучков^{[уточнить]}.
• Для функции $f:A\to <!--\; \to \; -->B$$f:A\to B$  рассматривают также сужение на подмножество $A\times <!--\; \times \; -->B$$A\times B$ 

ПродолжениеПравить

Запрос «Продолжение функции» перенаправляется сюда. На эту тему нужно создать отдельную статью.

Если функция $g:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->Y$$g\colon M\to Y$  такова, что она является сужением для некоторой функции $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ , то функция $f$$f$ , в свою очередь, называется продолжением функции $g$$g$  на множество $X$$X$ .

Имея некоторую функцию $f:<!--\; :\; -->X\to <!--\; \to \; -->Y$$f\colon X\to Y$ , её можно продолжить бесконечным числом способов на множество $M\supset <!--\; \supset \; -->X$$M\supset X$ , в том числе непрерывным образом. Однако, если функция $f$$f$  — аналитическая функция в $X$$X$ , то существует единственное аналитическое продолжение на $M$$M$ .