Стохастическая матрица

Стохасти́ческая ма́трица в теории вероятностей — это неотрицательная матрица, в которой сумма элементов любой строки или любого столбца равна единице.

ОпределенияПравить

• Матрица $P=(P_{ij}),i,j=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,2,\ldots$  называется стохасти́ческой справа (или просто стохастической), если

$P_{ij}\ge <!--\; \ge \; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i,j=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$  и $\underset{j=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_{ij}=1,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i$$\sum \limits _{{j=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall i$ .

• Матрица называется стохасти́ческой сле́ва, если

$P_{ij}\ge <!--\; \ge \; -->0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i,j=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->$$P_{{ij}}\geq 0,\quad \forall i,j=1,2,\ldots$  и $\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_{ij}=1,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}j$$\sum \limits _{{i=1}}^{{\infty }}P_{{ij}}=1,\quad \forall j$ .

• Матрица называется два́жды стохасти́ческой, если она стохастическая справа и слева.

ЗамечаниеПравить

Стохастическая справа матрица является матрицей переходных вероятностей для некоторой цепи Маркова.

СвойстваПравить

• Если $P$$P$  и $Q$$Q$  — две матрицы стохастические слева (справа, дважды), то и их произведение $R=PQ$$R=PQ$  также является матрицей стохастической слева (справа, дважды). Доказательство. Пусть A, B — стохастические матрицы, C = AB. Очевидно, что все элементы матрицы C неотрицательны. Возьмём любое j = 1....n. Тогда $\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{c}_{ij}=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ik}{b}_{kj})=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{kj}(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ik})=\underset{k=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{kj}=1$$\sum _{i=1}^{n}c_{ij}=\sum _{i=1}^{n}(\sum _{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}(\sum _{i=1}^{n}a_{ik})=\sum _{k=1}^{n}b_{kj}=1$  , поскольку матрицы A и B стохастические.

Регулярная стохастическая матрицаПравить

Конечная стохастическая матрица $P=(P_{ij}),i,j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,N$$P=(P_{{ij}}),\;i,j=1,\ldots ,N$  называется регуля́рной, если существует такое $n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$n\in \mathbb {N}$ , что

$p_{ij}^{(n)}>0,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}i,j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,N$$p_{{ij}}^{{(n)}}>0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,N$ ,

где $p_{ij}^{(n)}$$p_{{ij}}^{{(n)}}$  — элементы $n$$n$ -ой степени матрицы $P$$P$ , то есть $P^n=\left(p_{ij}^{(n)}\right)$$P^{n}=\left(p_{{ij}}^{{(n)}}\right)$ .

Эргодическая теоремаПравить

Если $P$$P$  — регулярная стохастическая матрица, то найдётся вектор $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=({\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_N)$${\mathbf {\pi }}=(\pi _{1},\ldots ,\pi _{N})$  такой, что

$P^n\to <!--\; \to \; -->{\mathbf{1}}^{\mathrm{\top <!--\; \top \; -->}}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$P^{n}\to {\mathbf {1}}^{{\top }}{\mathbf {\pi }}$ ,

где $\mathbf{1}=(1,\dots <!--\; \dots \; -->,1)$${\mathbf {1}}=(1,\ldots ,1)$  — вектор размерности $1\times <!--\; \times \; -->N$$1\times N$ , состоящий из единиц.