Многоугольник

Многоуго́льник — геометрическая фигура, обычно определяемая как часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Если граничная ломаная не имеет точек самопересечения, многоугольник называется простым. Например, треугольники и квадраты — простые многоугольники, а пентаграмма — нет.

Различные типы многоугольников

Точки перелома ломаной называются вершинами многоугольника, а её звенья — сторонами многоугольника. Число сторон многоугольника совпадает с числом его вершин.

Правильный тринадцатиугольник — многоугольник, у которого 13 равных сторон, углов и 13 вершин.

Варианты определенийПравить

Существуют три различных варианта определения многоугольника; последнее определение является наиболее распространённым.

• Плоская замкнутая ломаная — наиболее общий случай;
• Плоская замкнутая ломаная без самопересечений, любые два соседних звена которой не лежат на одной прямой;
• Часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной без самопересечений — плоский многоугольник; в этом случае сама ломаная называется контуром многоугольника.

Существуют также несколько вариантов обобщения данного определения, допускающие бесконечное число звеньев ломаных, несколько несвязных граничных ломаных, ломаные в пространстве, произвольные отрезки непрерывных кривых вместо отрезков прямых и др.

Связанные определенияПравить

Основной источник:

• Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
• Стороны многоугольника называются смежными, если они прилегают к одной вершине.
• Общая длина всех сторон многоугольника называется его периметром.
• Диагоналями называются отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника.
• Углом (или внутренним углом) плоского многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами, сходящимися в этой вершине. Угол может превосходить ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$180^{\circ }$  в том случае, если многоугольник невыпуклый. Число углов простого многоугольника совпадает с числом его сторон или вершин.
• Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В случае невыпуклого многоугольника внешний угол — разность между ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$180^{\circ }$  и внутренним углом, он может принимать значения от $-<!--\; -\; -->{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$-180^{\circ }$  до ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$180^{\circ }$ .
• Перпендикуляр, опущенный из центра вписанной окружности правильного многоугольника на одну из сторон, называется апофемой.

Виды многоугольников и их свойстваПравить

Основной источник:

• Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и так далее. Многоугольник с $n$$n$  вершинами называется $n$$n$ -угольником.

 

Многоугольник, вписанный в окружность

 

Многоугольник, описанный около окружности

• Выпуклый многоугольник — это многоугольник, который лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей его сторону (то есть продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон). Существуют и другие эквивалентные определения выпуклого многоугольника. Выпуклый многоугольник всегда простой, то есть не имеет точек самопересечения.
• Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы, например равносторонний треугольник, квадрат и правильный пятиугольник. Символ Шлефли правильного $n$$n$ -угольника равен $\{n\}$$\{n\}$ .
• Многоугольник, у которого равны все стороны и все углы, но который имеет самопересечения, называется правильным звёздчатым многоугольником, например, пентаграмма и октаграмма.
• Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности. Сама окружность при этом называется описанной, а её центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника. Любой треугольник является вписанным в некоторую окружность.
• Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной, а её центр лежит на пересечении биссектрис углов многоугольника. Любой треугольник является описанным около некоторой окружности.
• Выпуклый четырёхугольник называется внеописанным около окружности, если продолжения всех его сторон (но не сами стороны) касаются некоторой окружности. Окружность при этом называется вневписанной. Вневписанная окружность существует также и у произвольного треугольника.

Общие свойстваПравить

Неравенство треугольникаПравить

Неравенство треугольника влечёт, что любая сторона многоугольника меньше суммы остальных его сторон.

Теорема о сумме углов многоугольникаПравить

Сумма внутренних углов простого плоского $n$$n$ -угольника равна ${180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}(n-<!--\; -\; -->2)$$180^{\circ }(n-2)$ . Сумма внешних углов не зависит от числа сторон и всегда равна ${360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}.$$360^{\circ }.$ 

Число диагоналейПравить

• Число диагоналей всякого $n$$n$ -угольника равно $\frac{n(n-<!--\; -\; -->3)}{2}$${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ .

ПлощадьПравить

Пусть $\{(X_i,Y_i)\},i=1,2,...,n$$\{(X_{i},Y_{i})\},i=1,2,...,n$  — последовательность координат соседних друг другу вершин $n$$n$ -угольника без самопересечений . Тогда его площадь вычисляется по формуле Гаусса:

$S=\frac{1}{2}\left|\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(X_i+X_{i+1})(Y_i-<!--\; -\; -->Y_{i+1})\right|$$S={\frac {1}{2}}\left|\sum \limits _{{i=1}}^{n}(X_{i}+X_{{i+1}})(Y_{i}-Y_{{i+1}})\right|$ , где $(X_{n+1},Y_{n+1})=(X_1,Y_1)$$(X_{{n+1}},Y_{{n+1}})=(X_{1},Y_{1})$ .

Если даны длины сторон многоугольника и азимутальные углы сторон, то площадь многоугольника может быть найдена по формуле Саррона .

Площадь правильного $n$$n$ -угольника вычисляется по одной из формул:

• половина произведения периметра $n$$n$ -угольника на апофему:

• $S=\frac{n}{4}{a}^2\mathrm{ctg}<!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}$$S={\frac {n}{4}}\ a^{2}{\mathop {{\mathrm {}}}}\,\operatorname {ctg}{\frac {\pi }{n}}$ .

• $S=\frac{1}{2}n{R}^2\sin <!--\; \; -->\frac{{360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}}{n};$$S={\frac {1}{2}}nR^{2}\sin {\frac {360^{\circ }}{n}};$ 

• $S=n{r}^2\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{n}$$S=nr^{2}{\mathop {{\mathrm {tg}}}}\,{\frac {\pi }{n}}$ 

где $a$$a$  — длина стороны многоугольника, $R$$R$  — радиус описанной окружности, $r$$r$  — радиус вписанной окружности.

Квадрируемость фигурПравить

С помощью множества многоугольников определяется квадрируемость и площадь произвольной фигуры на плоскости. Фигура $F$$F$  называется квадрируемой, если для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  существует пара многоугольников $P$$P$  и $Q$$Q$ , таких, что $P\subset <!--\; \subset \; -->F\subset <!--\; \subset \; -->Q$$P\subset F\subset Q$  и $S(Q)-S(P)<\varepsilon$ , где $S(P)$$S(P)$  обозначает площадь $P$$P$ .

Вариации и обобщенияПравить

• Многогранник — обобщение многоугольника в размерности три, замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, или тело, ей ограниченное.

ЛитератураПравить

• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Polygon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.