Степень трансцендентности

Степень трансцендентности — максимальное число алгебраически независимых элементов в расширении поля. Степень трансцендентности даёт возможность измерения величины расширения.

ОпределениеПравить

Пусть $L/K$$L/K$  — расширение поля $K$$K$  до поля $L.$$L.$  Рассмотрим всевозможные алгебраически независимые подмножества поля $L$$L$  над полем $K.$$K.$  Степень трансцендентности данного расширения определяется как наибольшая мощность среди таких подмножеств.

Обычно обозначается ${\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}}_{K}L$$\mathrm {trdeg} _{K}L$  или $\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{g}(L/K).$$\mathrm {trdeg} (L/K).$ 

ЗамечанияПравить

Если алгебраически независимых элементов в расширенном поле $L$$L$  нет, то множество их пусто, и степень трансцендентности равна нулю. Таким образом, нулевая степень трансцендентности означает, что данное расширение является алгебраическим. Если же степень трансцендентности не нулевая, то в $L$$L$  существуют «трансцендентные» (не алгебраические по отношению к исходному полю) элементы.

Связанные понятияПравить

Подмножество $S$$S$  из $L$$L$  называется базисом трансцендентности расширения $L/K,$$L/K,$  если:

• элементы $S$$S$  алгебраически независимы над $K;$$K;$ 
• базис полон, то есть $L$$L$  является алгебраическим расширением поля $K(S),$$K(S),$  полученного присоединением элементов $S$$S$  к полю $K.$$K.$ 

Можно показать, что для любого заданного расширения поля базисы трансцендентности существуют (в доказательстве используется аксиома выбора), причём все они имеют одинаковую мощность, равную степени трансцендентности. Базисы трансцендентности — полезный инструмент для доказательства различных теорем существования про гомоморфизмы полей.

Расширение поля $L/K$$L/K$  называется чисто трансцендентным, если в $L$$L$  существует подмножество $S$$S$  алгебраически независимых над $K$$K$  элементов такое, что $K(S)=L.$$K(S)=L.$ 

ПримерыПравить

• Для расширения поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  до поля вещественных чисел $\mathbb{R}$$\mathbb {R}$  степень трансцендентности есть континуум. Это следует из того, что множество алгебраических чисел счётно.
• Поле рациональных функций $n$$n$  переменных $K(x_1\dots <!--\; \dots \; -->x_n)$$K(x_{1}\dots x_{n})$  над полем $K$$K$  является чисто трансцендентным расширением $K.$$K.$  Его степень трансцендентности равна $n,$$n,$  а в качестве базиса трансцендентности можно взять $\{x_1,x_2,\dots <!--\; \dots \; -->,x_n\}.$$\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}.$ 
• Поле $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->})$$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\pi )$  является расширением поля $\mathbb{Q}$$\mathbb {Q}$  со степенью трансцендентности 1, потому что $\sqrt{2}$${\sqrt 2}$  является алгебраическим числом, а $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  — трансцендентным.
• Поле $\mathbb{Q}(\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->},e)$$\mathbb {Q} (\pi ,e)$  также является расширением поля $\mathbb{Q},$$\mathbb {Q} ,$  его степень трансцендентности не определена (либо 1, либо 2), поскольку неизвестно, являются ли константы $\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}$$\pi$  и $e$$e$  алгебраически независимыми.

СвойстваПравить

Если мы имеет двукратное расширение поля: $M\supset <!--\; \supset \; -->L\supset <!--\; \supset \; -->K,$$M\supset L\supset K,$  то степень трансцендентности $M/K$$M/K$  равна (теоретико-множественной) сумме степеней трансцендентности $L/K$$L/K$  и $M/L.$$M/L.$  Базис трансцендентности $M/K$$M/K$  получается объединением базисов трансцендентности для $L/K$$L/K$  и $M/L.$$M/L.$ 

ЛитератураПравить

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, том 1. М: Иностранная литература, 1963.
• Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1967.

СсылкиПравить

• Кузьмин Л. В. Трансцендентное расширение