Додекододекаэдр

Додекододекаэдр

Тип	Однородный звёздчатый многогранник
Звёздчатая форма	Правильного додекаэдра
Элементы	F = 24, E = 60, V = 30
Характеристика Эйлера	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\chi$ $\chi$ = -6
Рёбер по граням	12{5}+12{⁵/₂}
Символ Шлефли	{⁵/₂,5}
Символ Витхоффа	2 \|5⁵/₂ 2 \| 5 ⁵/₃ 2 \| ⁵/₂ ⁵/₄ 2 \| 5⁵/₃ ⁵/₄
Группа симметрии	I_h, [5,3], (*532)
Обозначения	U₃₆,C₄₅, W₇₃
5.⁵/₂.5.⁵/₂ (Вершинная фигура)	Средний ромботриаконтаэдр двойственный многогранник

Додекододекаэдр — это однородный звёздчатый многогранник, имеющий номер U₃₆.

Построение ВитхоффаПравить

Многогранник имеет четыре построения Витхоффа из четырёх семейств треугольников Шварца: 2 | 5 5/2, 2 | 5 5/3, 2 | 5/2 5/4, 2 | 5/3 5/4, которые дают одинаковые результаты. Таким же образом ему можно задать четыре расширенных символа Шлефли: t₁{5/2,5}, t₁{5/3,5}, t₁{5/2,5/4} и t₁{5/3,5/4}, а также ему соответствуют четыре диаграммы Коксетера — Дынкина: , , и .

РазвёрткаПравить

Форму с тем же внешним видом, что и у додекододекаэдра, можно построить из этих развёрток:

Нужно 12 пятиугольных звёзд и 20 ромбических групп. Однако это построение заменяет пересекающиеся пятиугольные грани додекододекаэдра на набор непересекающихся ромбов, что не соответствует той же самой внутренней структуре.

Связанные многогранникиПравить

Выпуклой оболочкой многогранника является икосододекаэдр. У него то же самое расположение рёбер^[en], что и у малого додекогемикосаэдра^[en] (они имеют общие пентаграммные грани), и у большого додекогемикосаэдра^[en] (они имеют общие пятиугольные грани).

Додекододекаэдр	Малый додекогемикосаэдр^[en]
Большой додекогемикосаэдр^[en]	Икосододекаэдр (Выпуклая оболочка)

Этот многогранник можно считать полным усечением большого додекаэдра. Он находится посреди последовательности усечений от малого звёздчатого додекаэдра к большому додекаэдру.

Усечённый малый звёздчатый додекаэдр выглядит как додекаэдр по поверхности, но имеет 24 грани — 12 пятиугольников от усечения вершин и 12 перекрывающих их пятиугольников, полученных усечением пентаграмм. Усечение самого додекододекаэдра не является однородным и попытка сделать его однородным приводит к вырожденному многограннику (который выглядит как малый ромбододекаэдр^[en]), но он имеет однородное квазиусечение, которое не совсем правильно называют усечённым додекододекаэдром^[en] (следовало бы назвать квазиусечённым додекододекаэдром).

Название	Малый звёздчатый додекаэдр	Усечённый малый звёздчатый додекаэдр	Додекододекаэдр	Усечённый большой додекаэдр^[en]	Большой додекаэдр
Диаграммы Коксетера — Дынкина
Рисунок

Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической пятиугольной мозаики 4-го порядка^[en] по деформации пентаграмм обратно в правильные пятиугольники. Таким образом, он является, топологически, правильным многогранником с индексом 2:^[1]^[2]

Цвета на этом рисунке соответствуют цветам красных пентаграмм и жёлтых пятиугольников додекаэдра в начале статьи.

Средний РомботриаконтаэдрПравить

Средний Ромботриаконтаэдр

Тип	Звёздчатый многогранник
Грань
Элементы	F = 30, E = 60, V = 24
Характеристика Эйлера	$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\chi$ = -6
Группа симметрии	I_h, [5,3], (*532)
Обозначения	DU₃₆
Двойственный многогранник	Додекододекаэдр

Средний ромботриаконтаэдр — это невыпуклый изоэдрический многогранник. Он является двойственным додекододекаэдру и имеет 30 пересекающихся ромбических граней.

Его можно также назвать малым звёздчатым тридцатигранником.

Звёздчатые формыПравить

Средний ромботриаконтаэдр является звёздчатой формой ромботриаконтаэдра. Выпуклой оболочкой среднего ромботриаконтаэдра является икосаэдр.

Связанные гиперболические мозаикиПравить

Многогранник топологически эквивалентен факторпространству гиперболической квадратной мозаики 5-го порядка^[en] по деформации ромбов в квадраты. Следовательно, он топологически является правильным многогранником с индексом 2:^[1]

Заметим, что квадратная мозаика 5-го порядка двойственна пятиугольной мозаике 4-го порядка^[en] и факторпространство пятиугольной мозаики 4-го порядка топологически эквивалентно двойственному многограннику для среднего ромботриаконтаэдра, додекододекаэдру.

См. такжеПравить

Список однородных многогранников

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² The Regular Polyhedra (of index two) Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, David A. Richter
↑ The Golay Code on the Dodecadodecahedron Архивная копия от 18 октября 2018 на Wayback Machine, David A. Richter

ЛитератураПравить

Magnus Wenninger. Dual Models. — Cambridge University Press, 1983. — ISBN 978-0-521-54325-5.

СсылкиПравить

Weisstein, Eric W. Dodecadodecahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Medial Rhombic Triacontahedron (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Uniform polyhedra and duals

[autogenerated1-1] ¹ ² The Regular Polyhedra (of index two) Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine, David A. Richter

[2] The Golay Code on the Dodecadodecahedron Архивная копия от 18 октября 2018 на Wayback Machine, David A. Richter

[1]

[2]