Среднее значение функции

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если $f(x)$$f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ и дифференцируема в интервале $(a,b)$$(a,b)$, то существует точка $c$$c$, принадлежащая интервалу $(a,b)$$(a,b)$, такая, что $f(b)-<!--\; -\; -->f(a)=(b-<!--\; -\; -->a)f^{\prime }(c)$$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если $f(x)$$f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$$[a,b]$, а $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)$$\varphi (x)$ сохраняет постоянный знак, то существует точка $c$$c$ из интервала $(a,b)$$(a,b)$ такая, что

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx=f(c)\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)dx.$$\int \limits _{a}^{b}f(x)\varphi (x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}\varphi (x)dx.$

В частности, если $\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(x)=1$$\varphi (x)=1$, то

$\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx=f(c)(b-<!--\; -\; -->a).$$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).$

Вследствие этого под средним значением функции $f(x)$$f(x)$ на отрезке $[a,b]$$[a,b]$ обычно понимают величину

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{f}=\frac{1}{b-<!--\; -\; -->a}\underset{a}{\overset{b}{\int <!--\; \int \; -->}}f(x)dx.$$\overline {f}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx.$

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.