Спрос Хикса

В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называют компенсированным спросом.

Математическая записьПравить

$h(p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})=\arg <!--\; \; -->\underset{x}{min}\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{p}_i{x}_i,$$h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i},$ 

$\text{при}u(x)\ge <!--\; \ge \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u},$${\text{при}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}},$ 

где h(p,u) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$${\bar {u}}$ .

В случае когда известна функция расходов $e(p,u)$$e(p,u)$  и она непрерывна в точке $(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})$$({\bar {p}},\ {\bar {u}})$ , компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: $h_i(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})={\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{p}e(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}).$$h_{i}({\bar {p}},\ {\bar {u}})=\nabla _{p}e({\bar {p}},\ {\bar {u}}).$ 

Двойственность в теории потребленияПравить

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}>u(0)$${\bar {u}}>u(0)$ , то спрос по Хиксу $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})$${\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\bar {u}})$  является решением задачи максимизации полезности при ценах $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p}$${\tilde {p}}$  и доходе $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I}=e(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}))$${\tilde {I}}=e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))$ , где e(•) — функция расходов. При этом $v(e(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}))=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$$v(e({\tilde {p}},\ {\bar {u}}))={\bar {u}}$ .

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I})$${\tilde {x}}({\tilde {p}},\ {\tilde {I}})$  является решением задачи минимизации расходов $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{x}(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},v(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I}))$${\tilde {x}}({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))$  и $e(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},v(\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{p},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I}))=\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{I}$$e({\tilde {p}},\ v({\tilde {p}},\ {\tilde {I}}))={\tilde {I}}$ .

СвойстваПравить

При условии непрерывности функции полезности $u(x)$$u(x)$  и задания её в нуле таким образом, что $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}>u(0)$${\bar {u}}>u(0)$ , спрос Хикса $h(p,u)$$h(p,u)$  обладает следующими свойствами:

1. Однородность нулевой степени по ценам p: для всех $a>0$$a>0$ , $h(ap,u)=h(p,u)$$h(ap,\ u)=h(p,\ u)$ , так как набор x, минимизирующий сумму $\sum <!--\; \sum \; -->p_i{x}_i$$\sum p_{i}x_{i}$ , также минимизирует сумму $\sum <!--\; \sum \; -->a{p}_i{x}_i$$\sum ap_{i}x_{i}$  при том же бюджетном ограничении.
2. Ограничение $u(x)\ge <!--\; \ge \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$$u(x)\geq {\bar {u}}$  удовлетворяется как равенство: $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}{x}^{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->h(p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})u(x^{\ast <!--\; \ast \; -->})=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$$\forall x^{*}\in h(p,\ {\bar {u}})u(x^{*})={\bar {u}}$ . Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u}$${\bar {u}}$ .
3. Если предпочтения выпуклы, то $h(p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})$$h(p,\ {\bar {u}})$  — выпуклое множество.
4. Если предпочтения строго выпуклые, то $h(p,\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{u})$$h(p,\ {\bar {u}})$  состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
5. Имеет место закон компенсированного спроса:

$\forall x'\in h(p',\ {\bar {u}}),\ \ x''\in h(p'',\ {\bar {u}}):\ \ (p'-p'')(x'-x'')<0.$ 

См. такжеПравить

• Задача потребителя
• Маршалловский спрос

ЛитератураПравить

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5..