Список интегралов от логарифмических функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от логарифмической функции. В списке везде предполагается $x>0$$x>0$. Аддитивная константа опущена.

$\int <!--\; \int \; -->\ln <!--\; \; -->cxdx=x\ln <!--\; \; -->cx-<!--\; -\; -->x$$\int \ln cx\,dx=x\ln cx-x$

$\int <!--\; \int \; -->(\ln <!--\; \; -->x{)}^{2}dx=x(\ln <!--\; \; -->x{)}^2-<!--\; -\; -->2x\ln <!--\; \; -->x+2x$$\int (\ln x)^{2}\;dx=x(\ln x)^{2}-2x\ln x+2x$

$\int <!--\; \int \; -->(\ln <!--\; \; -->cx{)}^{n}dx=x(\ln <!--\; \; -->cx{)}^n-<!--\; -\; -->n\int <!--\; \int \; -->(\ln <!--\; \; -->cx{)}^{n-<!--\; -\; -->1}dx$$\int (\ln cx)^{n}\;dx=x(\ln cx)^{n}-n\int (\ln cx)^{n-1}dx$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{\ln <!--\; \; -->x}=\ln <!--\; \; -->|\ln <!--\; \; -->x|+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^i}{i\cdot <!--\; \cdot \; -->i!}$$\int {\frac {dx}{\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}=-<!--\; -\; -->\frac{x}{(n-<!--\; -\; -->1)(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}+\frac{1}{n-<!--\; -\; -->1}\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}$$\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{(\ln x)^{n-1}}}$ для $n\ne <!--\; \ne \; -->1$$n\neq 1$

$\int <!--\; \int \; -->x^m\ln <!--\; \; -->xdx=x^{m+1}\left(\frac{\ln <!--\; \; -->x}{m+1}-<!--\; -\; -->\frac{1}{(m+1{)}^2}\right)$$\int x^{m}\ln x\;dx=x^{m+1}\left({\frac {\ln x}{m+1}}-{\frac {1}{(m+1)^{2}}}\right)$ для $m\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$$m\neq -1$

$\int <!--\; \int \; -->x^m(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}{m+1}-<!--\; -\; -->\frac{n}{m+1}\int <!--\; \int \; -->x^m(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}dx$$\int x^{m}(\ln x)^{n}\;dx={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}dx$ для $m\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$$m\neq -1$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n}dx}{x}=\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n+1}}{n+1}$$\int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x}}={\frac {(\ln x)^{n+1}}{n+1}}$ для $n\ne <!--\; \ne \; -->-<!--\; -\; -->1$$n\neq -1$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{\ln <!--\; \; -->xdx}{x^m}=-<!--\; -\; -->\frac{\ln <!--\; \; -->x}{(m-<!--\; -\; -->1)x^{m-<!--\; -\; -->1}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{(m-<!--\; -\; -->1{)}^2{x}^{m-<!--\; -\; -->1}}$$\int {\frac {\ln x\,dx}{x^{m}}}=-{\frac {\ln x}{(m-1)x^{m-1}}}-{\frac {1}{(m-1)^{2}x^{m-1}}}$ для $m\ne <!--\; \ne \; -->1$$m\neq 1$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n}dx}{x^m}=-<!--\; -\; -->\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}{(m-<!--\; -\; -->1)x^{m-<!--\; -\; -->1}}+\frac{n}{m-<!--\; -\; -->1}\int <!--\; \int \; -->\frac{(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}dx}{x^m}$$\int {\frac {(\ln x)^{n}\;dx}{x^{m}}}=-{\frac {(\ln x)^{n}}{(m-1)x^{m-1}}}+{\frac {n}{m-1}}\int {\frac {(\ln x)^{n-1}dx}{x^{m}}}$ для $m\ne <!--\; \ne \; -->1$$m\neq 1$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{x^{m}dx}{(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}=-<!--\; -\; -->\frac{x^{m+1}}{(n-<!--\; -\; -->1)(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}+\frac{m+1}{n-<!--\; -\; -->1}\int <!--\; \int \; -->\frac{x^{m}dx}{(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}}$$\int {\frac {x^{m}\;dx}{(\ln x)^{n}}}=-{\frac {x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}}+{\frac {m+1}{n-1}}\int {\frac {x^{m}dx}{(\ln x)^{n-1}}}$ для $n\ne <!--\; \ne \; -->1$$n\neq 1$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{x^{m}dx}{\ln <!--\; \; -->x}=\mathrm{E}\mathrm{i}\left(\left(m+1\right)\ln <!--\; \; -->x\right)$$\int {\frac {x^{m}dx}{\ln x}}=\mathrm {Ei} \left(\left(m+1\right)\ln x\right)$,

где Ei(x) — интегральная экспонента

$\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{x\ln <!--\; \; -->x}=\ln <!--\; \; -->|\ln <!--\; \; -->x|$$\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{x^n\ln <!--\; \; -->x}=\ln <!--\; \; -->|\ln <!--\; \; -->x|+\underset{i=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^i\frac{(n-<!--\; -\; -->1{)}^i(\ln <!--\; \; -->x{)}^i}{i\cdot <!--\; \cdot \; -->i!}$$\int {\frac {dx}{x^{n}\ln x}}=\ln |\ln x|+\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{\frac {(n-1)^{i}(\ln x)^{i}}{i\cdot i!}}$

$\int <!--\; \int \; -->\frac{dx}{x(\ln <!--\; \; -->x{)}^n}=-<!--\; -\; -->\frac{1}{(n-<!--\; -\; -->1)(\ln <!--\; \; -->x{)}^{n-<!--\; -\; -->1}},$$\int {\frac {dx}{x(\ln x)^{n}}}=-{\frac {1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}}},$ для $n\ne <!--\; \ne \; -->1$$n\neq 1$

$\int <!--\; \int \; -->\sin <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->x)dx=\frac{x}{2}(\sin <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->x)-<!--\; -\; -->\cos <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->x))$$\int \sin(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)-\cos(\ln x))$

$\int <!--\; \int \; -->\cos <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->x)dx=\frac{x}{2}(\sin <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->x)+\cos <!--\; \; -->(\ln <!--\; \; -->x))$$\int \cos(\ln x)\;dx={\frac {x}{2}}(\sin(\ln x)+\cos(\ln x))$

БиблиографияПравить

Книги

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (рус.). — 4-е изд. — М.: Наука, 1963.
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов (рус.). — СПб.: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
• Zwillinger D. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae (англ.). — 31st ed. — 2002. — ISBN 1-58488-291-3.
• Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В. А. Диткина и Л. Н. Карамзиной. — М.: Наука, 1979. — 832 с. — 50 000 экз.
• Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.

Таблицы интегралов

• Интегралы на EqWorld
• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

• The Integrator (на Wolfram Research)
• Империя Чисел
• Методы вычисления неопределённых интегралов