Присоединённая матрица

Присоединённая (союзная, взаимная) матрица — матрица $C^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${C}^{{*}}$, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, так как понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц.

${C}^{{*}}={\begin{pmatrix}{A}_{{11}}&{A}_{{21}}&\cdots &{A}_{{n1}}\\{A}_{{12}}&{A}_{{22}}&\cdots &{A}_{{n2}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{A}_{{1n}}&{A}_{{2n}}&\cdots &{A}_{{nn}}\\\end{pmatrix}}$

Исходная матрица:

${A}={\begin{pmatrix}{a}_{{11}}&{a}_{{12}}&\cdots &{a}_{{1n}}\\{a}_{{21}}&{a}_{{22}}&\cdots &{a}_{{2n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{a}_{{n1}}&{a}_{{n2}}&\cdots &{a}_{{nn}}\\\end{pmatrix}}$

Где:

• $C^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${C}^{{*}}$ — присоединённая (союзная, взаимная) матрица;
• $A_{ij}$${A}_{{ij}}$ — алгебраические дополнения исходной матрицы;
• $a_{ij}$${a}_{{ij}}$ — элементы исходной матрицы.

Эта матрица нужна для вычисления обратной матрицы:

$A^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{C^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{det(A)}$${A}^{-1}={{{C}^{*}} \over {\det(A)}}$

где $det(A)$$\det(A)$ — определитель матрицы $A$$A$.

ОбозначениеПравить

• $C^{\ast <!--\; \ast \; -->}$${C}^{{*}}$ 
• $C^c$${C}^{{c}}$ 
• $C^v$${C}^{{v}}$ 
• $\mathrm{adj}<!--\; \; -->A$$\operatorname {adj} A$ 

См. такжеПравить

• Обратная матрица
• Алгебраическое дополнение
• Линейная алгебра

ЛитератураПравить

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 2-е изд. — М.: Наука, 1966.