Соотношение Эйнштейна

В физике (главным образом в молекулярно-кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна — Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макропараметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:

$D={\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p{k}_{B}T,$$D=\mu _{p}k_{B}T,$

где $D$$D$ — коэффициент диффузии, ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p$$\mu _{p}$ — подвижность частиц, $k_B$$k_B$ — постоянная Больцмана, а $T$$T$ — абсолютная температура.

Величина подвижности ${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p$$\mu _{p}$ определяется из соотношения

${\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}_p=V/F,$$\mu _{p}=V/F,$

где $V$$V$ — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы $F$$F$.

Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.

Формула Стокса — ЭйнштейнаПравить

Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса

$F=6\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}rV,$$F=6\pi \eta rV,$ 

где $\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}$$\eta$  — вязкость жидкости, $r$$r$  — радиус частицы.

Таким образом, получается выражение:

$D=\frac{k_{B}T}{6\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}r},$$D={\frac {k_{B}T}{6\pi \eta r}},$ 

называемое соотношением (формулой) Стокса — Эйнштейна.

Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения даёт лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса — Эйнштейна даёт верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии.

Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:

$D_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{k_{B}T}{8\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}{r}^3}.$$D_{\mathrm {rot} }={\frac {k_{B}T}{8\pi \eta r^{3}}}.$ 

См. такжеПравить

• Уравнение Ланжевена