Соотношение Фабер — Джексона

Соотношение Фабер — Джексона — эмпирическое степенное соотношение, связывающее светимость $L$$L$ и центральную дисперсию скоростей $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$ эллиптических галактик, впервые полученное астрономами Сандрой Фабер и Робертом Джексоном в 1976 году. Данное соотношение можно представить в виде

Зависимость дисперсии скоростей (ось y) от абсолютной звёздной величины (ось x) для некоторых эллиптических галактик, прямая линия показывает график соотношения Фабер — Джексона.

$L\propto <!--\; \propto \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}$$L\propto \sigma ^{\gamma }$,

где показатель степени $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$ приблизительно равен 4, но зависит от диапазона светимостей, в который вписано соотношение. Данную зависимость можно рассматривать как проекцию фундаментальной плоскости эллиптических галактик.

Соотношение Фабер — Джексона можно применять для приблизительного определения расстояния до галактик.

ТеорияПравить

Гравитационный потенциал массы $M$$M$ , распределённой в объёме радиуса $R$$R$ , имеет вид

$U=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\frac{G{M}^2}{R},$$U=-\alpha {\frac {GM^{2}}{R}},$ 

где $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  — постоянная, зависящая от профиля плотности объекта, $G$$G$  — гравитационная постоянная. В случае постоянной плотности $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\frac{3}{5}$$\alpha \ ={\frac {3}{5}}$ .

Кинетическая энергия ($\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\sigma$  — одномерная дисперсия скоростей, $3{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=V^2$$3\sigma ^{2}=V^{2}$ ):

$K=\frac{1}{2}M{V}^2,$$K={\frac {1}{2}}MV^{2},$ 

$K=\frac{3}{2}M{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2.$$K={\frac {3}{2}}M\sigma ^{2}.$ 

Из теоремы вириала ($2K+U=0$$2K+U=0$ ) следует

${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2=\frac{1}{5}\frac{GM}{R}.$$\sigma ^{2}={\frac {1}{5}}{\frac {GM}{R}}.$ 

Если предположить, что отношение масса-светимость является постоянным, то есть $M\propto <!--\; \propto \; -->L$$M\propto L$ , то соотношение, связывающее $R$$R$  и ${\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$$\sigma ^{2}$ , будет иметь вид

$R\propto <!--\; \propto \; -->\frac{LG}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}.$$R\propto {\frac {LG}{\sigma ^{2}}}.$ 

Введём понятие поверхностной яркости $B=L/(4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{R}^2)$$B=L/(4\pi R^{2})$  и предположим, что она постоянна:

$L=4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{R}^{2}B.$$L=4\pi R^{2}B.$ 

Пользуясь данным предположением, получим

$L\propto <!--\; \propto \; -->4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{\left(\frac{LG}{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2}\right)}^{2}B,$$L\propto 4\pi \left({\frac {LG}{\sigma ^{2}}}\right)^{2}B,$ 

$L\propto <!--\; \propto \; -->\frac{{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^4}{4\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{G}^{2}B},$$L\propto {\frac {\sigma ^{4}}{4\pi G^{2}B}},$ 

что означает $L\propto <!--\; \propto \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^4.$$L\propto \sigma ^{4}.$ 

В реальности предположение постоянной поверхностной яркости не выполняется. Поверхностная яркость имеет максимальное значение при $M_V=-<!--\; -\; -->23$$M_{V}=-23$ . Для менее массивных галактик $L\propto <!--\; \propto \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{3.1}$$L\propto \sigma ^{3.1}$ , для более массивных галактик $L\propto <!--\; \propto \; -->{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{15.0}.$$L\propto \sigma ^{15.0}.$  Таким образом, фундаментальная плоскость разделяется на две части, наклоненные относительно друг друга примерно на 11 градусов.

Определение расстояния до галактикПравить

Как и зависимость Талли — Фишера в случае спиральных галактик, соотношение Фабер — Джексона предоставляет возможность определять расстояние до галактики, связывая его с более простыми для измерения характеристиками. Для эллиптических галактик измерение центральной дисперсии скоростей по доплеровскому сдвигу спектральных линий позволяет на основе соотношения Фабер — Джексона получить оценку светимости галактики. Сопоставление светимости и видимой звёздной величины позволяет найти модуль расстояния до галактики и, следовательно, само расстояние.

СсылкиПравить

• Статья Faber & Jackson (1976)
• D. Gudehus: пересмотр соотношения Фабер — Джексона