Смещение вследствие пропущенных переменных

Смещение вследствие пропущенных переменных (англ. Omitted variable bias) — явление в регрессионном анализе, связанное с получением, смещённых и несостоятельных оценок регрессионных коэффициентов вследствие некорректной спецификации модели, а именно невключения в оцениваемую модель независимых переменных, оказывающих причинно-следственное влияние на зависимую переменную, или невозможности включить в неё некую ненаблюдаемую независимую переменную.

Формальный выводПравить

Представим, что истинная регрессионная модель выглядит следующим образом:

$y={\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}z+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->},$$y=\mathrm {x} '\beta +\gamma z+\epsilon ,$ 

где $y$$y$  — вектор отклика, $x$$x$  и $z$$z$  — матрица и вектор независимых переменных. При условии, что $cor(x,\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})=0$$cor(x,~\epsilon )=0$  и $cor(z,\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})=0$$cor(z,~\epsilon )=0$ , то оценки $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$  и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}$$\gamma$  соответственно будут МНК-оценками регрессионной зависимости отклика от независимых переменных. В частности, $\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=(X^{\prime }X{)}^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }y$${\hat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y$  (где $X$$X$  — объединённая матрица независимых переменных).

Чтобы смоделировать смещение вследствие пропущенных переменных, опустим предиктор $z$$z$ , включив его в состав нескоррелированной с $x$$x$  части модели:

$y={\mathrm{x}}^{\prime }\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}z+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}),$$y=\mathrm {x} '\beta +(\gamma z+\epsilon ),\quad$  где $cor(x,(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}z+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}))\ne <!--\; \ne \; -->0$$cor(x,~(\gamma z+\epsilon ))\neq 0$ .

Тогда МНК-оценки коэффициентов при предикторах будут несостоятельны в сравнении с истинным коэффициентом $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ :

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+(N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }z)\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}+(N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})$${\hat {\beta }}=\beta +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\gamma +(N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )$ 

Поскольку, согласно допущению изначальной модели, $cor(x,\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})=0$$cor(x,~\epsilon )=0$ , то $\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\left((N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})\right)=0$$\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'\mathbf {\epsilon } )\right)=0$ , тогда как

$\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}(\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}})=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},$$\mathrm {plim} ({\hat {\beta }})=\beta +\delta \gamma ,\quad$  откуда $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}=\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\left((N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }X{)}^{-<!--\; -\; -->1}(N^{-<!--\; -\; -->1}{X}^{\prime }z)\right)$$\delta =\mathrm {plim} \left((N^{-1}X'X)^{-1}(N^{-1}X'z)\right)$ .

ЛитератураПравить

• Cameron A. C., Trivedi P. K. Microeconometrics: methods and applications. – Cambridge university press, 2005. — 1034 p. — P. 92-93.
• Wooldridge J. M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. – South-Western College Pub, 2002. — 819 p. — P. 87-92, 165-166.