Сложные проценты

Капитализация процентов — причисление процентов к сумме вклада, позволяет в дальнейшем осуществлять начисление процентов на проценты путем выполнения двойной операции — выплата процентов и пополнение. Начисление процентов на проценты, используемое в некоторых видах банковских вкладов, или, при наличии долга, проценты, которые включаются в сумму основного долга, и на них также начисляются проценты. То же, что и сложный процент. Проценты по вкладу с капитализацией могут начисляться ежедневно, ежемесячно, ежеквартально и ежегодно. Если их не выплачивают, то прибавляют к сумме вклада. И в следующем периоде проценты будут начислены уже на большую сумму.

РасчетПравить

Общая сумма, которую получит вкладчик, при расчёте по сложному проценту будет равна $x\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\frac{a}{100}{)}^n$$x\cdot (1+{\frac {a}{100}})^{n}$ , где $x$$x$  — начальная сумма вложенных средств, $a>-<!--\; -\; -->1$$a>-1$  — годовая процентная ставка, $n$$n$  — срок вклада в годах. При вкладе по ставке s% годовых, после первого года хранения капитал составил бы x плюс s% от неё, то есть возрос бы в $(1+\frac{s}{100})$$(1+{\frac {s}{100}})$  раза. На второй год s% рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в $(1+\frac{s}{100})$$(1+{\frac {s}{100}})$  раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в $(1+\frac{s}{100})$$(1+{\frac {s}{100}})$  раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в $(1+\frac{s}{100}{)}^2$$(1+{\frac {s}{100}})^{2}$  раз. За три года — в $(1+\frac{s}{100}{)}^3$$(1+{\frac {s}{100}})^{3}$  раз.

К году N первичный вклад вырос бы до величины в $(1+\frac{s}{100}{)}^N$$(1+{\frac {s}{100}})^{N}$  раз больше первоначальной.

В применении к ежемесячной капитализации формула сложного процента имеет вид:

$x\cdot <!--\; \cdot \; -->(1+\frac{s}{12\cdot <!--\; \cdot \; -->100}{)}^m$$x\cdot (1+{\frac {s}{12\cdot 100}})^{m}$ 

где x — начальная сумма вклада, s — годовая ставка в процентах, m — срок вклада в месяцах.

ПримерПравить

Хорошей иллюстрацией является «лепта вдовицы» из евангельского рассказа о бедной вдове, на которую обратил внимание учеников Иисус Христос: она оставила в качестве пожертвования на иерусалимский храм последнее, что у неё было, — две самых мелких монеты, лепты. Если представить себе, что некий банк существует с того времени по сей день, всё это время обеспечивая капитализацию процентов по вкладам в сумме, скажем, пять процентов годовых, и лепта этой вдовы была внесена на счёт в этом банке, то какая сумма накопилась бы на этом счёте к сегодняшнему дню?

Последующие расчёты как раз и иллюстрируют применение сложных процентов. Для наглядности будем говорить не о лепте, а о копейке. Если ставка составляет 5 % годовых, то после первого года хранения капитал составил бы копейку плюс 5 % от неё, то есть возрос бы в (1 + 0,05) раза. На второй год 5 % рассчитывались бы уже не от одной копейки, а от величины, большей её в (1 + 0,05) раза. И, в свою очередь, данная величина увеличилась бы тоже за год в (1 + 0,05) раза. Значит, по сравнению с первичной суммой вклад за два года возрос бы в $(1+0,05{)}^2$$(1+0,05)^{2}$  раз. За три года — в $(1+0,05{)}^3$$(1+0,05)^{3}$  раз.

К 2022 году первичный вклад вырос бы до величины в $(1+0,05{)}^{2022}$$(1+0,05)^{2022}$  раз больше первоначальной. Величина $(1+0,05{)}^{2022}$$(1+0,05)^{2022}$  составляет $6,99\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{42}$$6,99\cdot 10^{42}$ . При первоначальном вкладе в одну копейку к 2021 году сумма составит $6,99\cdot <!--\; \cdot \; -->{10}^{42}$$6,99\cdot 10^{42}$  копеек, то есть свыше 69 додециллионов рублей.

Первоначальная идея подобного примера принадлежит польскому математику Станиславу Ковалю и опубликована им в начале семидесятых годов в книге «500 математических загадок».

Точная формула для оплаты ежемесячноПравить

Точная формула для ежемесячного платежа

$C=\frac{Pr}{1-<!--\; -\; -->\frac{1}{(1+r{)}^n}}$$C={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}$ 

с = ежемесячный платёж, P = начальная сумма, r = ежемесячная процентная ставка, n = количество периодов выплат.

Периодическое начислениеПравить

Функция суммы сложных процентов является экспоненциальной функцией с точки зрения времени.

$P(t)=P_0(1+\frac{r}{n}{)}^{nt}$$P(t)=P_{0}(1+{r \over n})^{nt}$ 

t = общее время в годах

n = число периодов наращения в год

г = номинальная годовая процентная ставка, выражается в виде десятичной дроби. 6 т.д .:% = 0,06

Непрерывное начислениеПравить

Пределом $(1+\frac{r}{n}{)}^{nt}$$(1+{r \over n})^{nt}$  при $n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$n\rightarrow \infty$  является $e^{rt}$$e^{rt}$  (см. E (число)), таким образом, для непрерывного начисления формула принимает вид:

$P(t)=P_0{e}^{rt}$$P(t)=P_{0}e^{rt}$ 

МненияПравить

Известный американский инвестор Уоррен Баффет считает сложные проценты неотъемлемой частью любой стратегии долгосрочного инвестирования.

ЛитератураПравить

• Джон К. Халл. Глава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, Futures and Other Derivatives. — 6-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 133—165. — ISBN 0-13-149908-4.
• Джереми Миллер. Правила инвестирования Уоррена Баффетта = Jeremy Miller: Warren Buffett's Ground Rules: Words of Wisdom from the Partnership Letters of the World's Greatest Investor. — М.: Альпина Паблишер, 2017. — 374 с. — ISBN 978-5-9614-6212-8.
• Нечаев В. М., Яроцкий В. Г. Процент, в экономике и с юридической точки зрения // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.