Слабая гомотопическая эквивалентность

Слабая гомотопическая эквивалентность — отображение между топологическими пространствами индуцирующее изоморфизм гомотопических групп.

ОпределениеПравить

Пусть $A$$A$  и $B$$B$  линейно связные пространства. Слабая гомотопическая эквивалентность из $A$$A$  в $B$$B$  есть непрерывное отображение $f:A\to <!--\; \to \; -->B$$f:A\to B$  такое, что индуцированные отображения $f_n:{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(A,a_0)\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_n(B,b_0)$$f_{n}:\pi _{n}(A,a_{0})\to \pi _{n}(B,b_{0})$  биективны при всех $n\ge <!--\; \ge \; -->1$$n\geq 1$  для некоторой (а значит для любой) пары точек $b_0=f(a_0)$$b_{0}=f(a_{0})$ .

СвойстваПравить

• Существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to <!--\; \to \; -->B$$A\to B$ , вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $B\to <!--\; \to \; -->A$$B\to A$ .

• Изоморфность групп ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n}A$$\pi _{n}A$  и ${\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_{n}B$$\pi _{n}B$  вообще говоря не влечёт существование слабой гомотопической эквивалентности $A\to <!--\; \to \; -->B$$A\to B$ .

• Любой конечный симплециальный комплекс слабо гомотопически эквивалентен конечному топологическому пространству.