Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида

Скру́ченно удлинённая пятиуго́льная пирами́да, или отсечённый икоса́эдр — один из многогранников Джонсона (J₁₁, по Залгаллеру — М₃+А₅).

Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	16 граней 25 рёбер 11 вершин Χ = 2
Грани	15 треугольников 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(33.5) 1+5(35)
Развёртка
Классификация
Обозначения	J11, М3+А5
Группа симметрии	C5v

Составлена из 16 граней: 15 правильных треугольников и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью треугольными; среди треугольных 5 граней окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 10 — тремя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и треугольной гранями, остальные 20 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная грань и три треугольных; в остальных 6 — пять треугольных.

Скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной антипризмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основание пирамиды к одному из оснований антипризмы.

Кроме того, скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из икосаэдра, отсекши от того пятиугольную пирамиду. Вершины полученного многогранника — 11 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 25 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Метрические характеристикиПравить

Если скрученно удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины $a$$a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}\left(15\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{8,215}6679a^2,$$S={\frac {1}{4}}\left(15{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 8{,}2156679a^{2},$ 

$V=\frac{1}{24}\left(25+9\sqrt{5}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{1,880}1922a^3.$$V={\frac {1}{24}}\left(25+9{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 1{,}8801922a^{3}.$ 

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,951}0565a;$$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 0{,}9510565a;$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,809}0170a.$$\rho ={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0{,}8090170a.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.