Симплициальный комплекс

Симплициальный компле́кс^[1], или симплициальное пространство, — топологическое пространство с заданной на нём триангуляцией, то есть, неформально говоря, склеенное из топологических симплексов по определённым правилам.

Трёхмерный геометрический комплекс.

Триангуляция полнотория.

ОпределенияПравить

Симплициальный комплексПравить

Симплициальный комплекс — топологическое пространство, представленное как объединение множеств, гомеоморфных симплексу и образующих триангуляцию этого пространства.

Геометрический комплексПравить

Это понятие является частным случаем предыдущего, когда рассматриваются симплексы в евклидовом пространстве.

Геометрический комплекс — множество симплексов в евклидовом пространстве таких, что:

с любым из симплексов в это множество входят все его грани;
любые два симплекса либо вообще не имеют общей точки, либо пересекаются только по целой грани какой-то размерности, причём только по одной грани;
у любой точки $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x$ комплекса есть окрестность $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U$ такая, что если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $U$ пересекается с симплексом комплекса $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\Delta$ , то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $x\in \Delta$ .

Часто дополнительно требуют локальную конечность, то есть должно выполняться следующее условие:

любая точка комплекса имеет окрестность, пересекающуюся не более чем с конечным числом симплексов.

Абстрактный комплексПравить

Абстрактный комплекс^[en] — это множество $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ с выделенным набором его конечных подмножеств $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ таких, что если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $X\in S$ и $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Y\subset X,$ то $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $Y\in S$ .

При этом элементы множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $V$ называются вершинами комплекса, а элементы множества $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ называются его симплексами.

Связанные определенияПравить

n-мерным остовом комплекса называется подкомплекс, образованный всеми его симплексами размерности не более n.
Размерность симплициального комплекса определяется как максимальная размерность его симплексов.

Пусть K есть симплициальный комплекс, и пусть S — некоторый набор симплексов в K.

Замыкание $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ (обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\textrm {Cl}}S$ ) есть наименьший подкомплекс в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $K$ , содержащий каждый симплекс из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ . Замыкание $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\bar {S}}$ может быть получено путём добавления к $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ всех граней всех симплексов из $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ .

Два симплекса и их замыкание.

Звезда от $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ (обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\textrm {St}}S$ ) — объединение звёзд всех симплексов в $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ . Для одного симплекса $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ звезда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ — это набор симплексов, имеющих $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ своей гранью. (Звезда - S, как правило, не является симплициальным комплексом).

Вершина и её звезда
Вершина и её линк

Линк $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $S$ (обозначается $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\textrm {Lk}}S$ ) может быть определён как
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ${\textrm {Lk}}S={\textrm {Cl}}({\textrm {St}}S)\backslash {\textrm {St}}({\textrm {Cl}}S).$

Это — подкомплекс, образованный всеми симплексами, входящими в симплексы большей размерности вместе с симплексом из

\text{[math]}

S,

но не имеющие граней из

\text{[math]}

S

.

См. такжеПравить

Псевдомногообразие

ПримечанияПравить

↑ Комплекс (матем.) // Коллиматор — Коржины. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 293. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 22). ;
Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007.

ЛитератураПравить

Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 3, стр.151. Том 4, стр.1168. (М.: Советская энциклопедия, 1985.)

[1] Комплекс (матем.) // Коллиматор — Коржины. — М. : Советская энциклопедия, 1953. — С. 293. — (Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. Б. А. Введенский ; 1949—1958, т. 22). ;
Русский орфографический словарь Российской академии наук / Отв. ред. В. В. Лопатин. — М., 2007.

[1]