Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

$A_n = \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix}$

СвойстваПравить

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

$a\cdot <!--\; \cdot \; -->E_n=A_n$$a \cdot E_n = A_n$ 

• Множество скалярных матриц $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$  — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами $n\times <!--\; \times \; -->n$$n\times n$ , то есть для любой скалярной матрицы $S$$S$  и матрицы $A$$A$  того же размера $AS=SA.$$AS = SA.$ 
• $\det <!--\; \; -->A_n=a^n$$\operatorname{det} A_n = a ^ n$ 
• $\operatorname{rang} A_n = \begin{cases} n, & a \not = 0 \\ 0, & a = 0. \end{cases}$ 
• $A_n^{-<!--\; -\; -->1}=\frac{1}{a}{E}_n$$A_n^{-1} = \frac{1}{a} E_n$ , где $E_n$$E_{n}$  - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).