Синтетический контроль

Синтетический контроль (англ. Synthetic control method, SCM) — эконометрический метод анализа данных в рамках причинно-следственной модели Рубина^ru_en, позволяющий проводить каузальную инференцию^ru_en в сравнительных кейс-стади. Метод направлен на оценку эффектов исследуемого воздействия (например, экономической реформы) на примере небольшого числа кейсов с помощью моделирования их количественных показателей в гипотетической ситуации, где воздействие не было оказано, на основе ограниченного круга похожих контрольных наблюдений посредством присвоения этим переменным определённых весов.

Сравнение реального благосостояния жителей ФРГ после объединения с ГДР в 1990 и гипотетического, если бы объединения не состоялось, с опорой на данные других стран ОЭСР.

Формальный выводПравить

Рассмотрим $i$$i$ -й регион, или какой-то другой объект наблюдения, причём $i=1,\dots <!--\; \dots \; -->,J+1$$i=1,\dots ,J+1$ , где $J+1$$J+1$  — число регионов, среди которых 1 испытал на себе исследуемое воздействие, а остальные $J$$J$  — нет, являясь контрольной группой (их совокупность называется «пулом доноров», англ. donor pool), в период времени $t$$t$ , где $t=1,\dots <!--\; \dots \; -->,T$$t=1,\dots ,T$ .

Пусть исследуемое воздействие будет оказано в период $T_0+1$$T_{0}+1$ , где $1\leq T_{0}<T$ , и тогда $T_0$$T_{0}$  — число периодов до воздействия. Обозначим отклик показателя в регионе $i$$i$  в период времени $t$$t$  в отсутствие исследуемого воздействия через $Y_{it}^N$$Y_{it}^{N}$ , а в его присутствие — $Y_{it}^I$$Y_{it}^{I}$ . Сделаем допущение о том, что при $t=1\dots <!--\; \dots \; -->T_0$$t=1\dots T_{0}$ , $Y_{it}^N=Y_{it}^I$$Y_{it}^{N}=Y_{it}^{I}$ : до наступления исследуемого воздействия, оно не оказывает эффекта на отклик в выбранном регионе. Также допустим, что воздействие, имевшее место в рассматриваемом регионе, не оказывает влияния на регионы из контрольной группы. Эффект исследуемого воздействия обозначим как $a_{it}=Y_{it}^I-<!--\; -\; -->Y_{it}^N$$a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}$ . Поскольку воздействие имеет место только в $i=1$$i=1$  и $t>T_0$$t>T_{0}$ , целью SCM является определение $a_{1t}=Y_{1t}^I-<!--\; -\; -->Y_{1t}^N$$a_{1t}=Y_{1t}^{I}-Y_{1t}^{N}$ , где $Y_{1t}^I=Y_{1t}$$Y_{1t}^{I}=Y_{1t}$  — собственно, наблюдаемый в рассматриваемом регионе показатель, а $Y_{1t}^N$$Y_{1t}^{N}$  — ненаблюдаемый отклик, который можно представить в качестве следующей факторной модели:

$Y_{it}^N={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_t+{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}_t{\mathbf{Z}}_i+{\mathit{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_t{\mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i+{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{it},$$Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\epsilon _{it},$ 

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_t$$\delta _{t}$  — общий для всех регионов фактор, ${\mathbf{Z}}_i$$\mathbf {Z} _{i}$  — вектор наблюдаемых, независимых от воздействия ковариат, ${\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}_t$${\boldsymbol {\theta }}_{t}$  — вектор их оценённых для данной выборки регионов коэффициентов, ${\mathit{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_t$${\boldsymbol {\lambda }}_{t}$  — вектор ненаблюдаемых латентных факторов, ${\mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i$${\boldsymbol {\mu }}_{i}$  — вектор соответствующих им факторных нагрузок и ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{it}$$\epsilon _{{it}}$  — специфичности, или шум. Эту модель можно переписать в виде:

$\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_j{Y}_{it}^N={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_t+{\mathit{\theta <!--\; \theta \; -->}}_t\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_j{\mathbf{Z}}_i+{\mathit{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}_t\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_j{\mathit{\mu <!--\; \mu \; -->}}_i+\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_j{\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{it},$$\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}^{N}=\delta _{t}+{\boldsymbol {\theta }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}\mathbf {Z} _{i}+{\boldsymbol {\lambda }}_{t}\sum \limits _{j}w_{j}{\boldsymbol {\mu }}_{i}+\sum \limits _{j}w_{j}\epsilon _{it},$ 

где $w_j$$w_{j}$  — это $j$$j$ -тое значение вектора $\mathbf{W}=(w_2,\dots <!--\; \dots \; -->,w_{J+1}{)}^{\prime }$$\mathbf {W} =(w_{2},\dots ,w_{J+1})'$ , такого, что $\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}j:w_j>0\wedge <!--\; \wedge \; -->\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_j=1$$\forall j:w_{j}>0\land \sum \limits _{j}w_{j}=1$ . Метод синтетического контроля заключается в подборе такого набора весов $({\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{w}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{w}}_{J+1}{)}^{\prime }$$({\tilde {w}}_{2},\dots ,{\tilde {w}}_{J+1})'$ , что при $t\le <!--\; \le \; -->T_0$$t\leq T_{0}$ , $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{w}}_j{Y}_{jt}=Y_{1t}$$\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}=Y_{1t}$  (то есть до воздействия веса сохраняют наблюдаемое значения отклика неизменным) и $\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{w}}_j{\mathbf{Z}}_j={\mathbf{Z}}_1$$\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}\mathbf {Z} _{j}=\mathbf {Z} _{1}$  (и при этом эти веса позволяют точно моделировать ковариаты рассматриваемого региона через ковариаты регионов контрольной группы).

В литературе было показано, что если отклонения специфичностей ${\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}}_{it}$$\epsilon _{{it}}$  незначительны при данном $T_0$$T_{0}$ , размере периода до воздействия, $Y_{1t}^N-<!--\; -\; -->\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{w}_j{Y}_{it}\to <!--\; \to \; -->0$$Y_{1t}^{N}-\sum \limits _{j}w_{j}Y_{it}\to 0$ , то есть разница между моделируемым, ненаблюдаемым откликом в отсутствие воздействия и взвешенным, но наблюдаемым в его присутствии, в таких условиях ничтожно. Соответственно, предлагается такая оценка эффекта воздействия ($a_{it}=Y_{it}^I-<!--\; -\; -->Y_{it}^N$$a_{it}=Y_{it}^{I}-Y_{it}^{N}$ ):

${\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{a}}_{1t}=Y_{1t}-<!--\; -\; -->\underset{j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{w}}_j{Y}_{jt}$${\hat {a}}_{1t}=Y_{1t}-\sum \limits _{j}{\tilde {w}}_{j}Y_{jt}$ 

Оптимизация алгоритмаПравить

С вычислительной точки зрения, расчёт искомых весов связан с минимизацией по вектору весов $\mathbf{W}$${\mathbf {W}}$  нормы $\Vert <!--\; \Vert \; -->{\mathbf{X}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{X}}_0\mathbf{W}\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|$ , где ${\mathbf{X}}_1$$\mathbf {X} _{1}$  — вектор значений ковариатов для исследуемого региона до момента $T_0+1$$T_{0}+1$ , а ${\mathbf{X}}_0$$\mathbf {X} _{0}$  — матрица значений ковариатов для контрольных регионов. Вне зависимости от выбора исследователем положительно определённой матрицы $\mathbf{V}$${\mathbf {V}}$ , оптимизируемая норма раскрывается как $\Vert <!--\; \Vert \; -->{\mathbf{X}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{X}}_0\mathbf{W}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}_{\mathbf{V}}=\sqrt{({\mathbf{X}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{X}}_0\mathbf{W}{)}^{\prime }\mathbf{V}({\mathbf{X}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{X}}_0\mathbf{W})}$$\|\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} \|_{\mathbf {V} }={\sqrt {(\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )'\mathbf {V} (\mathbf {X} _{1}-\mathbf {X} _{0}\mathbf {W} )}}$  .

Для того, чтобы получить конечное значение $\mathbf{V}$${\mathbf {V}}$ , проводят внешнюю оптимизацию по параметру $\mathbf{V}$${\mathbf {V}}$  с использованием коэффициентом дисконтирования $\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}$$\beta$ , повышающим вес недавних наблюдений. Эту оптимизацию можно описать следующим образом: $\underset{t=1}{\overset{T}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{T-<!--\; -\; -->t}{\left(Y_{1t}-<!--\; -\; -->\underset{j=2}{\overset{J+1}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{W}}_j(V)Y_{jt}\right)}^2\to <!--\; \to \; -->min$$\sum \limits _{t=1}^{T}\beta ^{T-t}\left(Y_{1t}-\sum \limits _{j=2}^{J+1}{\tilde {W}}_{j}(V)Y_{jt}\right)^{2}\to min$ , где $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{\mathbf{W}}$${\tilde {\mathbf {W} }}$  — вектор минимальных весов, полученный на предыдущем этапе.

Статистическая значимость результатовПравить

Определение статистической значимости полученных оценок может быть проведено посредством различных техник. В статье 2003 года, оценивающей влияние терроризма и прочих проявлений политического насилия на экономику Страны Басков, рассчитанный эффект был подвергнут т. н. плацебо-тесту (placebo test), заключавшемуся в осуществлении идентичного алгоритма синтетического контроля к Каталонии, также известной своим значительным сепаратистским движением, но не испытывавшей проблем с террористическими проявлениями этого движения.

Плацебо-тесты в литературе, использующей метод синтетического контроля, являются примером непараметрических пермутационных тестов. Моделирование синтетического отклика для всех контрольных кейсов в выборке позволяет в явном виде работать с вероятностным распределением и проверять нулевую гипотезу об отсутствии казуальных эффектов в рассматриваемом кейсе. При этом нет необходимости асимптотически приближать распределение этих эффектов у контрольных кейсов к тому или иному распределению, что и делает тесты подобного типа пермутационными.

Синтетический контроль как метод предсказанияПравить

В литературе было предложено использовать SCM не только для оценки причинно-следственных связей, но и построения прогнозов. В рамках пилотного исследования была предпринята попытка спрогнозировать экономический рост в Соединённых Штатах Америки, однако использующийся для получения весов «пул доноров» состоял уже не из стран с похожими характеристиками, но из показателей экономического роста с определённым временным лагом.

Синтетический контроль и другие методыПравить

Синтетический контроль совмещает элементы других каузальных статистических методов: разности разностей^ru_en и мэтчинга^ru_en.

По сравнению с разностью разностей синтетический контроль предлагает более упорядоченную процедуру подбора весов для наблюдений из контрольной группы, использует больший временной промежуток перед воздействием и требует максимально возможного приближения характеристик контрольной группы к характеристикам исследуемого объекта в ходе подбора весов.

Метод синтетического контроля обладает набором сходств с линейной регрессией. Так и синтетический контроль, и регрессионный анализ предполагают линейную комбинацию весов и переменных (в последнем веса, как правило, называются регрессионными коэффициентами), причём сумма весов равняется 1. Основным различием является то, что в SCM значения этих весов заключены в $[0,1]$$[0,~1]$ , тогда как в регрессионном анализе такого ограничения нет и коэффициенты практически не интерпретируются как веса Так контрфактуальная Германия из исследования 2015 года была «синтезирована» на основании подушного ВВП, уровня инвестиций, торговой открытости, количества школ и доли промышленности в прибавочном продукте Австрии (42%), США (22%), Японии (16%), Швейцарии (11%) и Нидерландов (9%).

Симуляции показали, что панельный метод Сяо (фиксированные эффекты с эффектами взаимодействия) для исследования каузальных эффектов является менее робастным к изменению в пуле доноров, нежели синтетический контроль, хотя использование обоих подходов приводит к удовлетворительным результатам. Отмечалось, что синтетический контроль является более предпочтительным, если у исследователя есть данные по дополнительным временным периодам.

ПрименениеПравить

Область применения метода синтетического контроля охватывает исследования политики в сфере здравоохранения, криминологию, политическую науку, различные разделы экономики.

В политологии SCM рассматривается как компромисс между конвенциональными количественными и качественными методами, позволяющий совмещать фокус на одном или нескольких кейсах со строгими критериями их подбора. Посредством этого метода изучались: экономический эффект от объединения Германии для собственно ФРГ, последствия федеративной реформы в Бельгии^ru_en для расходов на социальное обеспечение.

В географии SCM используется в исследованиях антропогенных ландшафтов (в рамках land systems science).

В статистических пакетахПравить

Существуют пакеты для анализа данных посредством метода синтетического контроля в статистическом программном обеспечением. Для языка R был разработан пакет Synth.

См. такжеПравить

• Метод инструментальных переменных