Сингулярное распределение

Сингулярное распределение (по отношению к мере $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$) — это распределение вероятностей, которое сосредоточено на множестве $M$$M$ таком, что $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}(M)=0$$\mu (M)=0$. Однако часто используют более узкое определение, гласящее, что сингулярным называют распределение в пространстве ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$, сосредоточенное на множестве нулевой меры Лебега и приписывающее каждому одноточечному множеству нулевую вероятность. Важно отметить, что согласно общему определению любое дискретное распределение является сингулярным по отношению к мере Лебега, но в частном определении дискретные распределения выведены из множества сингулярных.

Для одномерного пространства также можно утверждать, что распределение сингулярно, если множество точек роста у функции распределения имеет нулевую меру.

СвойстваПравить

Сингулярное распределение не может являться абсолютно непрерывным (по теореме Радона — Никодима).

Любое вероятностное распределение $F$$F$  может быть представлено в виде следующей суммы:

$F=p{F}_s+q{F}_{ac}$$F=pF_{s}+qF_{ac}$ ,

где $p⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\quad p\geqslant 0$ , $q⩾<!--\; ⩾\; -->0$$q\geqslant 0$ , $p+q=1$$p+q=1$ , распределение $F_s$$F_{s}$  — сингулярно по отношению к мере $\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}$$\mu$ , а распределение $F_{ac}$$F_{ac}$  — абсолютно непрерывно по отношению к этой же мере.

ПримерыПравить

Простейшим примером сингулярного распределения является распределение, сосредоточенное на канторовом множестве (его функцией распределения является лестница Кантора).

Более часто встречающимся в практических задачах сингулярным распределением является распределение случайных направлений в двухмерном евклидовом пространстве. Случайное направление соответствует единичному вектору, повёрнутому на случайный угол относительно вектора $(1,0)$$(1,0)$ . Выбор случайного направления равнозначен выбору случайной точки на единичной окружности, которая, в свою очередь, имеет нулевую площадь, следовательно, это распределение — сингулярно.