Симплектическое многообразие

Симплектическое многообразие — это многообразие с заданной на нём симплектической формой, то есть замкнутой невырожденной дифференциальной 2-формой.

Важнейшим примером симплектического многообразия является кокасательное расслоение $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M$$T^{*}M$. Симплектическая структура позволяет естественным геометрическим образом ввести гамильтонову механику и даёт наглядное толкование многим её свойствам: если $M$$M$ — конфигурационное пространство механической системы, то $T^{\ast <!--\; \ast \; -->}M$$T^{*}M$ — соответствующее ему фазовое пространство.

ОпределениеПравить

Дифференциальная 2-форма $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  называется симплектической структурой, если она невырождена и замкнута, то есть её внешняя производная равна нулю,

$d\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0,$$d\omega =0,$ 

и для любого ненулевого касательного вектора $v\in <!--\; \in \; -->T_{x}M$$v\in T_{x}M$  найдётся вектор $w\in <!--\; \in \; -->T_{x}M$$w\in T_{x}M$  такой, что

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(v,w)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\omega (v,w)\neq 0.$ 

Многообразие $M$$M$  с заданной на нём симплектической формой называется симплектическим многообразием.

ЗамечанияПравить

• Из определения следует, что симплектическое многообразие имеет чётную размерность.
• Если размерность $M$$M$  равна $2n$$2n$ , то невырожденость формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  эквивалентна условию ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->n}\ne <!--\; \ne \; -->0$$\omega ^{\wedge n}\neq 0$ .

Связанные определенияПравить

• Диффеоморфизм симплектических многообразий $f:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->N$$f\colon M\to N$  называется симплектоморфизмом, если он сохраняет симплектическую структуру.

• Пусть $H:<!--\; :\; -->M\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$H\colon M\to \mathbb {R}$  — произвольная гладкая функция на симплектическом многообразии. Симплектическая форма ставит в соответствие функции $H$$H$  векторное поле $V_H$$V_{H}$ , определяемое следующим тождеством:

  $dH(X)=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(V_H,X).$$dH(X)=\omega (V_{H},X).$ 

  • Это определение аналогично определению градиента и иногда $V_H$$V_{H}$  называется симплектическим градиентом функции $H$$H$ .
  • Поле $V_H$$V_{H}$ , которое можно получить таким образом называется гамильтоновым.
  • В силу невырожденности формы $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  векторное поле $V_H$$V_{H}$  определено однозначно. В координатах Дарбу это отображение принимает вид

  $\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{q}}=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{p}},\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{\mathbf{p}}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathbf{q}},$${\dot {{\mathbf q}}}={\frac {\partial H}{\partial {\mathbf p}}},\quad {\dot {{\mathbf p}}}=-{\frac {\partial H}{\partial {\mathbf q}}},$ 

соответствующий уравнениям Гамильтона, при этом $H$$H$  называется гамильтонианом (функцией Гамильтона).

• Скобки Пуассона превращают множество гамильтонианов на $M$$M$  в алгебру Ли и определены по правилу

$[F,G]=\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(V_F,V_G).$$[F,G]=\omega (V_{F},V_{G}).$ 

СвойстваПравить

• Теорема Дарбу: все симплектические многообразия локально симплектоморфны. Таким образом, в окрестности любой точки многообразия можно выбрать координаты, называемые координатами Дарбу, в которых симплектическая форма имеет вид

  $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=d\mathbf{p}\wedge <!--\; \wedge \; -->d\mathbf{q}$$\omega =d{\mathbf p}\wedge d{\mathbf q}$ 

При этом в касательном пространстве каждой точки в рассматриваемой окрестности оказывается выбран базис Дарбу.

• Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую структуру (следует из формулы Картана):

  ${\mathcal{L}}_{V_H}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=0$${\mathcal {L}}_{V_{H}}\,\omega =0$ 

Здесь ${\mathcal{L}}_{V_H}$${\mathcal {L}}_{V_{H}}$  — производная Ли по векторному полю $V_H$$V_{H}$ . Таким образом, гамильтонов фазовый поток является симплектоморфизмом.

• В частности, поскольку ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->n}$$\omega ^{{\wedge n}}$  — форма объёма на $M$$M$ , то получаем теорему Лиувилля о сохранении фазового объёма:

  ${\mathcal{L}}_{V_H}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{\wedge <!--\; \wedge \; -->n}=0.$${\mathcal {L}}_{V_{H}}\omega ^{\wedge n}=0.$ 

Контактная структураПравить

С каждым симплектическим $2n$$2n$ -мерным многообразием каноническим образом связано $(2n+1)$$(2n+1)$ -мерное контактное многообразие, называемое его контактизацией. Обратно, для любого $(2n+1)$$(2n+1)$ -мерного контактного многообразия существует его симплектизация, являющаяся $(2n+2)$$(2n+2)$ -мерным многообразием.

Вариации и обобщенияПравить

Многообразие называется мультисимплектическим степени $k$$k$ , если на нём задана замкнутая невырожденная дифференциальная k-форма.

См. такжеПравить

• Симплектическое пространство

СсылкиПравить

• Д. В. Аносов. «О развитии теории динамических систем». Симплектическая геометрия.
• Лекция 5: Скобки Пуассона, дифференциальные формы и поливекторы 2013

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. 2-ое изд. — Ижевск: РХД, 2000. — 168с.
• Тирринг В. Курс математической и теоретической физики. — К.: TIMPANI, 2004. — 1040 с.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Изд. МГУ, 1988. — 414с.