Симплектическое пространство

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{a},\mathbf{b})=-<!--\; -\; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{b},\mathbf{a})$$\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )$

$\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{a},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathbf{b}+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathbf{c})=\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{a},\mathbf{b})+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{a},\mathbf{c})$$\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )$

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathbf{a}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{S},\mathbf{a}\ne <!--\; \ne \; -->0\mathrm{\exists <!--\; \exists \; -->}\mathbf{b}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{S}:\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}(\mathbf{a},\mathbf{b})\ne <!--\; \ne \; -->0$$\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \in \mathbb {S} \,:\,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0$

Симплектическая форма обычно обозначается $⟨\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->⟩$$\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$. В отличие от формы скалярного произведения, для которой

$\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}\mathbf{a}\ne <!--\; \ne \; -->0:(\mathbf{a},\mathbf{a})>0$$\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0$,

для симплектической формы всегда $⟨\mathbf{a},\mathbf{a}⟩=0$$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Связанные определенияПравить

• Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:

$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=⟨L(\mathbf{a}),L(\mathbf{b})⟩$$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle$ 

• Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
• Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
• Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
• Два вектора $\mathbf{a},\mathbf{b}\in <!--\; \in \; -->S$$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$  называются косоортогональными, если

$⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=0$$\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0$ 

Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.

• Косоортогональным дополнением подпространства $s\subset <!--\; \subset \; -->S$$s\subset S$  называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из $s$$s$ .

Каноническая структураПравить

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор ${\mathbf{q}}_{\mathbf{1}}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{S},\dim \mathbb{S}=2n$$\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$ . В силу невырожденности $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  существует такой вектор ${\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}\in <!--\; \in \; -->\mathbb{S}$$\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$ , что

$⟨{\mathbf{p}}_{\mathbf{1}},{\mathbf{q}}_{\mathbf{1}}⟩=1$$\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1$ 

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов ${\mathbf{p}}_{\mathbf{1}}$$\mathbf {p_{1}}$  и ${\mathbf{q}}_{\mathbf{1}}$$\mathbf {q_{1}}$ . Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

$({\mathbf{p}}_{\mathbf{1}},\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{p}}_{\mathbf{n}},{\mathbf{q}}_{\mathbf{1}},\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathbf{q}}_{\mathbf{n}})$$(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )$ ,

такой что

$⟨{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{q}}_{\mathbf{j}}⟩={\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij},⟨{\mathbf{q}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{q}}_{\mathbf{j}}⟩=⟨{\mathbf{p}}_{\mathbf{i}},{\mathbf{p}}_{\mathbf{j}}⟩=0$$\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0$ 

где ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ij}$$\delta _{{ij}}$  — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

$\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$ 

где $I_n$$I_{n}$  — единичная матрица порядка n. ${\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}_n$$\Omega _{n}$  является симплектической матрицей.

Строение подпространствПравить

Рассмотрим подпространство $W\subset <!--\; \subset \; -->\mathbb{S}$$W\subset \mathbb {S}$  и его косоортогональное дополнение $W^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$W^{\perp }$ . В силу невырожденности $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$ :

$\dim W+\dim W^{\perp <!--\; \perp \; -->}=\dim \mathbb{S}$$\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}$ 

Кроме того,

$(W^{\perp <!--\; \perp \; -->}{)}^{\perp <!--\; \perp \; -->}=W$$(W^{\perp })^{\perp }=W$ 

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

• Симплектические: $W\cap <!--\; \cap \; -->W^{\perp <!--\; \perp \; -->}=0$$W\cap W^{\perp }=0$ . Это верно тогда и только тогда, когда ограничение $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_k,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0;q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_k,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0),2k=\dim W$$(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k=\dim \,W$ 

• Изотропные: $W\subset <!--\; \subset \; -->W^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$W\subset W^{\perp }$ . Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_k,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0;0,\dots <!--\; \dots \; -->,0),k=\dim W$$(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~0,\dots ,0),\,k=\dim \,W$ .

• Коизотропные: $W^{\perp <!--\; \perp \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->W$$W^{\perp }\subset W$ . W коизотропно тогда и только тогда, когда $\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}$$\omega$  невырождена на факторпространстве $W/W^{\perp <!--\; \perp \; -->}$$W\,/\,W^{\perp }$ . Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n;q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_k,0,\dots <!--\; \dots \; -->,0),n+k=\dim W,2n=\dim \mathbb{S}$$(p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}$ 

• Лагранжевы: $W^{\perp <!--\; \perp \; -->}=W$$W^{\perp }=W$ . W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_n;0,\dots <!--\; \dots \; -->,0),n=\dim W,2n=\dim \mathbb{S}$$(p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}$ 

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом ${\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n$$\Lambda _{n}$ . Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы ${\mathbb{U}}_n$$\mathbb {U} _{n}$  по ортогональной подгруппе ${\mathbb{O}}_n$$\mathbb {O} _{n}$ , при этом

$\dim {\mathrm{\Lambda <!--\; \Lambda \; -->}}_n=\frac{n(n+1)}{2}$$\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2}}$ 

ПримерыПравить

• В комплексном пространстве ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$  можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле

$⟨u,w⟩=\mathrm{Im}<!--\; \; -->\left[u,w\right]$$\left\langle u,w\right\rangle =\operatorname {Im} \left[u,w\right]$ 

где $\left[\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->\right]$$\left[\cdot ,\cdot \right]$  — эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении ${\mathbb{R}}^{2n}$$\mathbb {R} ^{2n}$  пространства ${\mathbb{C}}^n$$\mathbb{C}^n$ .

• Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве $V\oplus <!--\; \oplus \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$V\oplus V^{*}$ , где $V^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$V^*$  — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле

$⟨w,u⟩=1,u^{\ast <!--\; \ast \; -->}=w,u\in <!--\; \in \; -->V$$\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V$ 

$⟨w,u⟩=0,u^{\ast <!--\; \ast \; -->}\ne <!--\; \ne \; -->w,\mathrm{\forall <!--\; \forall \; -->}u,w\in <!--\; \in \; -->V\oplus <!--\; \oplus \; -->V^{\ast <!--\; \ast \; -->}$$\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}$ 

и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. такжеПравить

• Индекс Маслова
• Симплектическая группа
• Симплектическое многообразие
• Контактная структура
• Гамильтонова механика
• Фазовое пространство
• Уравнения Гамильтона

ЛитератураПравить

• Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. — 2-ое изд.. — Ижевск: РХД, 2000. — 168 с. — ISBN 5-7029-0331-5. (недоступная ссылка)
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
• Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. — М.: Издательство МГУ, 1988. — 414 с. (недоступная ссылка)