Симметризация и антисимметризация тензора

Симметризация и антисимметризация тензора — это операции конструирования тензора того же типа с определённым видом симметрии. Для примера, симметризация тензора $T_{ij}$$T_{ij}$ — это симметричный тензор $T_{(ij)}=\frac{1}{2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$$\scriptstyle T_{(ij)} = {1\over 2}\left(T_{ij}+T_{ji}\right)$, а антисимметризация — антисимметричный тензор $T_{[ij]}=\frac{1}{2}\left(T_{ij}-<!--\; -\; -->T_{ji}\right)$$\scriptstyle T_{[ij]} = {1\over 2}\left(T_{ij}-T_{ji}\right)$.

Операция симметризации:

$A_{(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_k)m_{k+1}{m}_q}^{n_1\dots <!--\; \dots \; -->n_p}=\frac{1}{k!}\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_k)}{\sum <!--\; \sum \; -->}{A}_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1)\dots <!--\; \dots \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_k)m_{k+1}{m}_q}^{n_1\dots <!--\; \dots \; -->n_p}$$A_{(m_{1}\ldots m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}$.

Суммирование ведётся по всем перестановкам $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_k)$$\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ индексов, заключённых в круглые скобки. Аналогично определяется симметризация верхних индексов; симметризовать можно только по группе индексов одного типа. Операцию можно применять и к тензорному произведению нескольких тензоров (которое также является тензором). Примеры:

$A_{(klm)}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})$$A_{(klm)}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}+A_{kml}+A_{lkm}+A_{mlk})$.

Операция антисимметризации или альтернирования определяется так:

$A_{[m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_k]m_{k+1}{m}_q}^{n_1\dots <!--\; \dots \; -->n_p}=\frac{1}{k!}\underset{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_k)}{\sum <!--\; \sum \; -->}\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->A_{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1)\dots <!--\; \dots \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_k)m_{k+1}{m}_q}^{n_1\dots <!--\; \dots \; -->n_p}$$A_{[m_{1}\ldots m_{k}]m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma (m_{1}\ldots m_{k})}\operatorname {sgn} \sigma \cdot A_{\sigma (m_{1})\ldots \sigma (m_{k})m_{k+1}m_{q}}^{n_{1}\ldots n_{p}}$.

Суммирование снова ведётся по всем перестановкам $\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}(m_1\dots <!--\; \dots \; -->m_k)$$\sigma (m_{1}\ldots m_{k})$ индексов, но теперь заключённых в квадратные скобки и с учётом чётности перестановки $\mathrm{sgn}<!--\; \; -->\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}$$\operatorname {sgn} \sigma$. Примеры:

$A_{[klm]}=\frac{1}{3!}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-<!--\; -\; -->A_{kml}-<!--\; -\; -->A_{lkm}-<!--\; -\; -->A_{mlk})$$A_{[klm]}={\frac {1}{3!}}(A_{klm}+A_{lmk}+A_{mkl}-A_{kml}-A_{lkm}-A_{mlk})$;

$A_k^{q[l}{B}_{pr}^{m]}=\frac{1}{2!}(A_k^{ql}{B}_{pr}^m-<!--\; -\; -->A_k^{qm}{B}_{pr}^l)$$A_{k}^{q[l}B_{pr}^{m]}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{ql}B_{pr}^{m}-A_{k}^{qm}B_{pr}^{l})$.

Некоторые авторы предпочитают не писать множитель $\frac{1}{k!}$${\frac {1}{k!}}$ в формулах для симметризации и антисимметризации. На это следует обращать внимание, поскольку другие формулы видоизменяются соответственно, что может внести путаницу.

Свойства симметризации и антисимметризацииПравить

• Если $T_{i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_n}$$T_{i_1\ldots i_n}$  симметричен по $i_1\dots <!--\; \dots \; -->i_n,$$i_1\ldots i_n,$  то симметризация по этим индексам совпадает с $T,$$T,$  а антисимметризация даёт нулевой тензор. Аналогично в случае антисимметричности $T$$T$  по некоторым индексам: антисимметризация совпадёт с $T$$T$ , а симметризация даст нулевой тензор.
• Если $T_{ij}\in <!--\; \in \; -->V\otimes <!--\; \otimes \; -->V,$$T_{ij} \in V\otimes V,$  то $T_{(ij)}\in <!--\; \in \; -->V\vee <!--\; \vee \; -->V,$$T_{(ij)} \in V \vee V,$  $T_{[ij]}\in <!--\; \in \; -->V\wedge <!--\; \wedge \; -->V.$$T_{[ij]} \in V \wedge V.$  Здесь $\vee <!--\; \vee \; -->$$\vee$  — симметричное, а $\wedge <!--\; \wedge \; -->$$\wedge$  — внешнее произведение векторных пространств.