Сильная двойственность

Сильная двойственность — это условие математической оптимизации, в котором оптимальные значения для прямой и двойственной задач равны. Это противоположно понятию слабой двойственности, когда прямая задача имеет оптимальное значение, не меньшее, чем у двойственной задачи, то есть разрыв двойственности больше либо равно нулю.

ОписаниеПравить

Сильная двойственность выполняется тогда и только тогда, когда разрыв двойственности равен 0.

Достаточные условияПравить

Достаточные условия строгой двойственности:

• $F=F^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$F=F^{**}$ , где $F$$F$  является функцией возмущений^[en] для прямой и двойственной задач, а $F^{\ast <!--\; \ast \; -->\ast <!--\; \ast \; -->}$$F^{**}$  является второй сопряжённой функцией для $F$$F$  (следует из построения разрыва двойственности)
• $F$$F$  является выпуклой и полунепрерывной снизу (эквивалентно первому пункту согласно теореме Фенхеля — Моро)
• Прямая задача является задачей линейного программирования
• Условие Слейтера для задачи выпуклой оптимизации.

См. такжеПравить

• Выпуклое программирование

ЛитератураПравить

• Jonathan Borwein, Adrian Lewis. Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples. — 2. — Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-29570-1.
• Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. — Cambridge University Press, 2004. — ISBN 978-0-521-83378-3.