Эллипсоид вращения

Эллипсо́ид враще́ния (сферо́ид) — поверхность вращения в трёхмерном пространстве, образованная при вращении эллипса вокруг одной из его главных осей.

Сфера — нормальный сфероид

Вытянутый сфероид

Сплюснутый сфероид

Термин «сфероид» для обозначения двух вариантов эллипсоида вращения ввёл Архимед: «… мы полагаем следующее: если эллипс при сохранении неподвижной большей оси поворачивается, возвращаясь в исходное положение, то охватываемая им фигура будет называться вытянутым сфероидом (παραμακες σφαιροιδες). Если эллипс поворачивается при сохранении в неподвижности малой оси и возвращается назад, то охватываемая им фигура будет называться сплюснутым сфероидом (επιπλατυ σφαιροιδες).»

Эллипсоид вращения является частным случаем эллипсоида, две из трёх полуосей которого имеют одинаковую длину

($a_x=a_y=a$$a_{x}=a_{y}=a$):

$\frac{x^2}{a_x^2}+\frac{y^2}{a_y^2}+\frac{z^2}{b^2}=\frac{{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1.$${\frac {x^{2}}{a_{x}^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a_{y}^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}={\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1.$

В частном случае, когда все три полуоси равны, исходный эллипс представляет собой окружность, а эллипсоид вращения вырождается в сферу.

Вытянутый эллипсоид вращенияПравить

Вытянутый эллипсоид вращения (вытянутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна.

Зеркало в виде вытянутого эллипсоида вращения обладает следующим свойством: лучи света, исходящие из одного из фокусов эллипсоида, после отражения соберутся в другом фокусе.

Сплюснутый эллипсоид вращенияПравить

Сплюснутый эллипсоид вращения (сплюснутый сфероид) можно также определить как геометрическое место точек пространства, для которых сумма расстояний до ближайшей и до наиболее удалённой точки заданной окружности постоянна.

Основные формулыПравить

• Площадь поверхности:

• сплюснутый эллипсоид вращения ($a>b$$a>b$ ):

$S=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}a\left(a+\frac{b^2}{\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->b^2}}\ln <!--\; \; -->\left(\frac{a+\sqrt{a^2-<!--\; -\; -->b^2}}{b}\right)\right)=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2\left(1+\frac{1-<!--\; -\; -->e^2}{e}\mathrm{Arth}<!--\; \; -->e\right)=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2+\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\frac{b^2}{e}\ln <!--\; \; -->\left(\frac{1+e}{1-<!--\; -\; -->e}\right),$$S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln \left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\operatorname {Arth} e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {b^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right),$  где $e^2=1-<!--\; -\; -->\frac{b^2}{a^2};$$e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}};$ 

• вытянутый эллипсоид вращения ($a<b$ ):

$S=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}a\left(a+\frac{b^2}{\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->a^2}}\arcsin <!--\; \; -->\left(\frac{\sqrt{b^2-<!--\; -\; -->a^2}}{b}\right)\right)=2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^2\left(1+\frac{b}{ae}\arcsin e\right),$$S=2\pi a\left(a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}}\arcsin \left({\frac {\sqrt {b^{2}-a^{2}}}{b}}\right)\right)=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {b}{ae}}\arcsin \,e\right),$  где $e^2=1-<!--\; -\; -->\frac{a^2}{b^2}.$$e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{b^{2}}}.$ 

• Объём:

$V=\frac{4}{3}\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}{a}^{2}b$$V={\frac {4}{3}}\pi a^{2}b$ 

ПримерыПравить

Форма Земли — с хорошим приближением представляет собой сплюснутый эллипсоид вращения с $\frac{a}{b}\approx <!--\; \approx \; -->\frac{301}{299}$${{\frac {a}{b}}\approx {{\frac {301}{299}}}}$ .

ПрименениеПравить

Свойство вытянутого эллипсоида вращения отражать лучи, направленные в один из фокусов, в другой фокус, используется в телескопах системы Грегори и в антеннах Грегори.

 

 

Слева — радиотелескоп РТ-70, исполненный по системе антенны Грегори.
Справа — оптическая схема телескопа Грегори; малое зеркало имеет форму вытянутого эллипсоида вращения