Сетка Вульфа

Сетка Вульфа в кристаллографии — стереографическая экваториальная проекция градусной сетки сферы из расположенного на её экваторе центра проекции, осуществляемая на плоскость меридиана, удалённого на 90° от выбранного центра. Данный меридиан называется основным меридианом сетки. Меридианы и параллели сетки Вульфа играют вспомогательную роль как проекции дуг больших и малых кругов сферы. Точки схождения меридианов называются полюсами сетки; отрезок прямой, соединяющей полюса сетки, называется осью сетки; отрезок прямой, равноудалённый от полюсов и перпендикулярный оси, называется экватором сетки.

Экваториальная сетка Вульфа с шагом координат 10°

Все построения и преобразования с использованием сетки Вульфа проводятся на кальке, на которую переносят центр сетки, её основной меридиан, ось и экватор, а также наносят точки, сферические координаты которых требуется преобразовать. Повороты кальки делаются с сохранением центровки относительно сетки.

Сетку Вульфа обычно строят с шагом координат в 2°.

Метод изобретён кристаллографом Георгием Вульфом.

Примеры примененияПравить

Сетка Вульфа позволяет графически, без дополнительных расчётов решать многие задачи геометрической кристаллографии, связанные с угловыми характеристиками кристаллов, а так же навигационные и астрометрические задачи.

С помощью сетки Вульфа строится стереографическая экваториальная проекция точки, заданной своими сферическими координатами $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ ₁ и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ ₁. Поворотом кальки вокруг центра сетки на требуемый угол с учётом его знака получают результирующие координаты точки $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ ₂ и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}$$\rho$ ₂ на сетке. В зависимости от класса решаемых задач координаты точек на сетке могут быть заданы различным образом.

В кристаллографии принят следующий порядок указания координат: углы $0^{\circ }\leq \phi <360^{\circ }$  отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от правого конца её экватора; углы $0^{\circ <!--\; \circ \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\le <!--\; \le \; -->{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$0^{\circ }\leq \rho \leq 180^{\circ }$  — вдоль оси и экватора, от центра сетки, при этом диапазон $90^{\circ }<\rho \leq 180^{\circ }$  соответствует проекциям точек, лежащих под плоскостью основного меридиана. Центр сетки соответствует координатам $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=0^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho =0^{\circ }$  и $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho =180^{\circ }$ ; правый конец экватора - $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=0^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho =90^{\circ },\phi =0^{\circ }$ ; левый конец экватора - $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho =90^{\circ },\phi =180^{\circ }$ ; "верхний" полюс - $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}={270}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho =90^{\circ },\phi =270^{\circ }$ ; "нижний" полюс - $\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\rho =90^{\circ },\phi =90^{\circ }$ .

В геодезическом, навигационном или астрографическом применении сетки принят такой порядок указания координат: углы $-<!--\; -\; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}\le <!--\; \le \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}\le <!--\; \le \; -->+{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$-90^{\circ }\leq \phi \leq +90^{\circ }$ , соответствующие широте, склонению или высоте над горизонтом, отсчитываются по окружности сетки Вульфа, положительное направление по часовой стрелке, начиная от левого конца её экватора; углы $0^{\circ }\leq \lambda <360^{\circ }$ , соответствующие долготе, прямому восхождению или часовому углу — вдоль экватора сетки от правого его конца. Положения точек с координатами $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}>{180}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\lambda >180^{\circ }$  находятся по правилу ${360}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$360^{\circ }-\lambda$ . Центр сетки имеет координаты $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\lambda =90^{\circ }$  и $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={270}^{\circ <!--\; \circ \; -->}$$\lambda =270^{\circ }$ .

В контексте решений навигационных задач сетка может представлять требуемую систему сферических координат, например, экваториальную, тогда северный полюс отображается на верхний полюс сетки, южный полюс - на нижний полюс сетки, небесный экватор - на экватор сетки; меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Зенит и надир находятся в точках, соответствующих географической широте местоположения наблюдателя: в точках $(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}={180}^{\circ <!--\; \circ \; -->})$$(\phi ,\lambda =180^{\circ })$  и $(-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}=0^{\circ <!--\; \circ \; -->})$$(-\phi ,\lambda =0^{\circ })$  соответственно. В этом случае вдоль основного меридиана отсчитываются склонения светил, а вдоль экватора сетки - часовые углы.

При использовании горизонтальной системы координат - зенит и надир находятся в соответствующих полюсах сетки, экватор сетки соответствует истинному горизонту наблюдателя. Меридиан наблюдателя совпадает с основным меридианом сетки. Полюсы мира находятся на основном меридиане в точках $({90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(90^{\circ }-\phi )$  и $(-<!--\; -\; -->{90}^{\circ <!--\; \circ \; -->}+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})$$(-90^{\circ }+\phi )$  соответственно. Точка севера (N) отображается на правый конец экватора, точка юга (S) - на левый, точки востока и запада - в центр сетки. В этом случае вдоль основного меридиана сетки (от точки юга) отсчитываются высоты светил над горизонтом; вдоль экватора сетки (от точки севера) - истинные пеленги светил.

Поворотом кальки вокруг центра сетки на соответствующий угол производится преобразование координат светила из горизонтальной в экваториальную систему координат и обратно.

Способ построения сетки ВульфаПравить

 

Порядок построения сетки Вульфа

Воспользуемся тем свойством стереографической экваториальной проекции, что меридианы и параллели сетки Вульфа являются дугами окружностей.

Начертите окружность радиуса $R$$R$  с центром в точке $C$$C$ , постройте два взаимно-перпендикулярных диаметра $P_1-<!--\; -\; -->P_2$$P_{1}-P_{2}$  и $Q_1-<!--\; -\; -->Q_2$$Q_{1}-Q_{2}$ . Положительные значения угла $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  отсчитываются по часовой стрелке от точки $Q_2$$Q_{2}$ . Выбрав желаемый шаг координатной сетки - найдите на окружности $P_1{Q}_2{P}_2{Q}_1$$P_{1}Q_{2}P_{2}Q_{1}$  вспомогательную точку $A_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$A_{\phi }$ , отмеряющую на окружности дугу $Q_2-<!--\; -\; -->A_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$Q_{2}-A_{\phi }$ , кратную выбранному шагу по углу $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$ . Найдите на луче $C-<!--\; -\; -->P_2$$C-P_{2}$  вспомогательную точку $O_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$O_{\phi }$ , лежащую на расстоянии $r_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}=\frac{R}{\tan <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$r_{\phi }={\frac {R}{\tan \phi }}$  от точки $A_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$A_{\phi }$ . Взяв точку $O_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$O_{\phi }$  в качестве центра, прочертите от точки $A_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$A_{\phi }$  дугу радиусом $r_{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$$r_{\phi }$  внутри окружности; параллель широты $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  построена. Параллели второй половины сетки строятся таким же образом, но углы $\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}$$\phi$  отсчитываются от точки $Q_1$$Q_1$  и вспомогательные точки располагаются на луче $C-<!--\; -\; -->P_1$$C-P_{1}$ .

Для построения меридианов сетки с выбранным шагом, вычисляйте положение вспомогательной точки $O_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$O_{\lambda }$ , находящейся на луче $C-<!--\; -\; -->Q_2$$C-Q_{2}$  на расстоянии $r_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}=\frac{R}{\sin <!--\; \; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$r_{\lambda }={\frac {R}{\sin \lambda }}$  от какого-либо полюса. Взяв точку $O_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$O_{\lambda }$  в качестве центра, прочертите между полюсами $P_1$$P_1$  и $P_2$$P_2$  дугу радиусом $r_{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}$$r_{\lambda }$ ; меридиан долготы $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$  построен. Меридианы второй половины сетки строятся таким же образом, но вспомогательные точки располагаются на луче $C-<!--\; -\; -->Q_1$$C-Q_{1}$ .

СсылкиПравить

• Вульфа сетка — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Вульф Г.В. Способ графического решения задач по космографии и математической географии. — Нижний Новгород, 1909.