Сепарабельный многочлен

Сепарабельный многочлен — многочлен над полем $K$$K$, все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля $K$$K$.

Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен $P$$P$ сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной $P^{\prime }$$P'$. Это последнее означает, что сам многочлен $P$$P$ (а не только его неприводимые над $K$$K$ сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в положительной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена $P$$P$ должно иметь место представление:

$P(X)=Q(X^p)$$P(X)=Q(X^{p})$,

где $Q$$Q$ — также неприводимый многочлен, а $p$$p$ — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен:

$P(X)=X^p-<!--\; -\; -->T$$P(X)=X^{p}-T$

над полем $K={\mathbb{F}}_p(T)$$K=\mathbb {F} _{p}(T)$ рациональных функций от одной переменной $T$$T$ над полем из $p$$p$ элементов ${\mathbb{F}}_p$$\mathbb {F} _{p}$. Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении $T^{1/p}$$T^{1/p}$ к полю $K$$K$):

$P(X)=X^p-<!--\; -\; -->(T^{1/p}{)}^p=(X-<!--\; -\; -->T^{1/p}{)}^p$$P(X)=X^{p}-(T^{1/p})^{p}=(X-T^{1/p})^{p}$,

иными словами, $T^{1/p}$$T^{1/p}$ является (единственным) корнем кратности $p$$p$.