Связность (некоммутативная геометрия)

Геометрия квантовых систем (например, некоммутативная геометрия и супергеометрия) может быть сформулирована в алгебраических терминах модулей и алгебр. Связность на модулях обобщает линейную связность на векторных расслоениях $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$, записанную как связность на $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(X)$$C^{\infty }(X)$ - модуле сечений $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$.

Коммутативная геометрияПравить

Пусть $A$$A$  — коммутативное кольцо и $P$$P$  — $A$$A$ -модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на $P$$P$ . Пусть $D(A)$$D(A)$  — модуль дифференцирований кольца $A$$A$ . Связность на $A$$A$ -модуле $P$$P$  определяется как морфизм $A$$A$ -модулей

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}:D(A)\ni <!--\; \ni \; -->u\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_1(P,P),$$\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),$ 

такой что дифференциальные операторы первого порядка ${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u$$\nabla _{u}$  на $P$$P$  удовлетворяют правилу Лейбница

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u(ap)=u(a)p+a{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u(p),a\in <!--\; \in \; -->A,p\in <!--\; \in \; -->P.$$\nabla _{u}(ap)=u(a)p+a\nabla _{u}(p),\quad a\in A,\quad p\in P.$ 

Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка

$R(u,u^{\prime })=[{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u,{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{u^{\prime }}]-<!--\; -\; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_{[u,u^{\prime }]}.$$R(u,u')=[\nabla _{u},\nabla _{u'}]-\nabla _{[u,u']}.$ 

На модуле $P$$P$  для всех $u,u^{\prime }\in <!--\; \in \; -->D(A)$$u,u'\in D(A)$ .

Если $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$  — векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}$$\Gamma$  на $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$  и связностями $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  на $C^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}(X)$$C^{\infty }(X)$ -модуле сечений of $E\to <!--\; \to \; -->X$$E\to X$ . При этом, $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}$$\nabla$  соответствует ковариантному дифференциалу связности на $E\to <!--\; \to \; -->X.$$E\to X.$ 

СупергеометрияПравить

Понятие связности на коммутативном кольце непосредственным образом переносится на модули над ${\mathbb{Z}}_2$$\mathbb Z_2$ -градуированными алгебрами. Это — случай суперсвязностей в супергеометрии на градуированных многообразиях и супервекторных расслоениях. Суперсвязности всегда существуют.

Некоммутативная геометрияПравить

Если $A$$A$  — некоммутативное кольцо, связности на левых и правых $A$$A$ -модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом. Однако такие связности не обязательно существуют.

В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на $R-<!--\; -\; -->S$$R-S$ -бимодулях над некоммутативными кольцами $R$$R$  и $S$$S$ . Существуют различные определения таких связностей. Приведем одно из них. Связность на $R-<!--\; -\; -->S$$R-S$ -бимодуле $P$$P$  определяется как морфизм бимодулей

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}:D(A)\ni <!--\; \ni \; -->u\to <!--\; \to \; -->{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u\in <!--\; \in \; -->{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}_1(P,P),$$\nabla :D(A)\ni u\to \nabla _{u}\in \mathrm {Diff} _{1}(P,P),$ 

который удовлетворяет правилу Лейбница

${\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u(apb)=u(a)pb+a{\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}}_u(p)b+apu(b),a\in <!--\; \in \; -->R,b\in <!--\; \in \; -->S,p\in <!--\; \in \; -->P.$$\nabla _{u}(apb)=u(a)pb+a\nabla _{u}(p)b+apu(b),\quad a\in R,\quad b\in S,\quad p\in P.$ 

См. такжеПравить

• Связность (дифференциальная геометрия)
• Дифференциальное исчисление над коммутативными алгебрами
• Супергеометрия

ЛитератураПравить

• Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
• Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
• Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
• Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
• Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
• Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
• Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.

СсылкиПравить

• Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515 (недоступная ссылка)