Ряд Пеано

Ряд Пеано — бесконечная сумма, в которой слагаемые получены последовательным применением операторов интегрирования и перемножения матриц.

Ряд Пеано предложен в 1888 году Джузеппе Пеано для определения матрицанта системы обыкновенных дифференциальных уравнений нормального вида. Общая теория и свойства матрицантов для системы уравнений нормального вида (СНВ) разработаны Ф. Р. Гантмахером.

В последние годы алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, широко применяются для решения прикладных задач. В связи с развитием вычислительной техники появилась возможность реализовать подобные алгоритмы не только в аналитическом, но и в численном и в численно-аналитическом виде.

ОпределениеПравить

Система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами нормального вида (СНВ):

$\int <!--\; \int \; -->Y^{\prime }dx=AY+F$$\int Y'dx=AY+F$,

где $Y$$Y$ — вектор неизвестных функций, $A$$A$ — матрица коэффициентов $F$$F$ — вектор заданных функций (вектор «нагрузок»).

$Y={\left\{y_i\left(t\right)\right\}}^T;A=\left[a_{ij}\left(t\right)\right];F={\left\{f_i\left(t\right)\right\}}^T;i=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n$$Y={\left\{{{y_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};A=\left[{{a_{ij}}\left(t\right)}\right];F={\left\{{{f_{i}}\left(t\right)}\right\}^{T}};i=1,2,\ldots ,n$.

Общее решение системы дифференциальных уравнений нормального вида выражается через матрицу фундаментальных решений (матрицант):

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}(t)=[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ij}(t)]$$\Omega (t)=[{\omega _{ij}}(t)]$.

$Y=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}C+Y_F$$Y=\Omega C+{Y_{F}}$, $Y_F=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}F$${Y_{F}}=\Omega \int {{\Omega ^{-1}}F}$

Дж. Пеано показал, что матрицант матрицы $A$$A$ представим в виде операторного ряда:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ij}]=E+\int <!--\; \int \; -->A+\int <!--\; \int \; -->A\int <!--\; \int \; -->A+\int <!--\; \int \; -->A\int <!--\; \int \; -->A\int <!--\; \int \; -->A+\dots <!--\; \dots \; -->$$\Omega =[{\omega _{ij}}]=E+\int A\,\;+\int A\int A\,\,+\int A\,\int A\,\int A\,+\ldots$,

где $E$$E$ — единичная матрица. При этом матрица $A$$A$ должна быть ограниченной и интегрируемой матричной функцией в рассматриваемом промежутке изменения аргумента. Ряд сходится абсолютно и равномерно в любом замкнутом интервале, в котором матрица А непрерывна.

Оператор интегрирования представляет собой интеграл с переменным верхним пределом:

$\int {\left({\ldots }\right)}=\int _{t_{0}}^{t}{\left({\ldots }\right)}\,dt\,;{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\int \limits _{}^{2}{\left({\ldots }\right)=\,\int {\int {\left({\ldots }\right)}}=\int \limits _{t_{0}}^{t}{\left({\int \limits _{t_{o}}^{t_{\xi }}{\left({\ldots }\right)d{t_{\xi }}}}\right)}}}\\\end{array}}\,dt$.

Из этих выражений следует, что

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left(t_0\right)=[{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ij}\left(t_0\right)]=E$$\Omega \left({t_{0}}\right)=[{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)]=E$.

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ii}\left(t_0\right)=1;{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ij}\left(t_0\right)=0,i\ne <!--\; \ne \; -->j.C=Y_0={\left\{y_{0,i}\right\}}^T;y_{0,i}=y_i\left(t_0\right)$${\omega _{ii}}\left({t_{0}}\right)=\,1;\quad \;{\omega _{ij}}\left({t_{0}}\right)=0\,,\quad i\neq j.\quad C={Y_{0}}={\left\{{y_{0,i}}\right\}^{T}};\quad {y_{0,i}}={y_{i}}\left({t_{0}}\right)$.

Возможна и другая, физически более удобная, форма представления общего решения:

$Y=\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\cdot <!--\; \cdot \; -->(Y_0+U_P);U_P=\int <!--\; \int \; -->{\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}F.$$Y=\Omega \cdot ({Y_{0}}+{U_{P}})\,;\quad {U_{P}}=\int {{\Omega ^{-1}}F\,.}$.

Здесь $Y_0$$Y_{0}$ — вектор начальных значений, которые заданы при $t=t_0$$t=t_{0}$. $U_P$$U_{P}$ — вектор внешних воздействий, которые действуют при $t\ge <!--\; \ge \; -->t_0$$t\geq t_{0}$. Не нарушая общности, можно считать, что $t_0=0$$t_{0}=0$.

Таким образом, если переменная физически представляет время, то общее решение представляет собой решение задачи Коши, а если переменная физически представляет расстояние, то общее решение представляет собой решение краевой задачи в виде метода начальных параметров[1].

Область сходимости ряда ПеаноПравить

Ряд Пеано сходится в заданном интервале изменения $t$$t$ абсолютно и равномерно, если сходится мажорантный ряд

$M=1+\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(t\right)+\frac{n\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\left(t\right)}^2}{2!}+\frac{n^2\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\left(t\right)}^3}{3!}+\dots <!--\; \dots \; -->+\frac{n^{k-<!--\; -\; -->1}\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}{\left(t\right)}^k}{k!}+\dots <!--\; \dots \; -->$$M=1+\mu \left(t\right)+{\frac {n\mu {{\left(t\right)}^{2}}}{2!}}+{\frac {{n^{2}}\mu {{\left(t\right)}^{3}}}{3!}}+\ldots +{\frac {{n^{k-1}}\mu {{\left(t\right)}^{k}}}{k!}}+\ldots$,

$\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}\left(t\right)=\underset{i,j}{max}<!--\; \; -->\underset{0}{\overset{t}{\int <!--\; \int \; -->}}\left|a_{ij}\left(t\right)\right|dt$$\mu \left(t\right)=\mathop {\max } \limits _{i,j}\int \limits _{0}^{t}{\left|{{a_{ij}}\left(t\right)}\right|dt}$.

Следовательно, сходимость ряда определяется величиной наибольшего значения интеграла от абсолютного значения функций $a_{ij}$$a_{{ij}}$ в заданном интервале изменения $t$$t$.

Применение ряда Пеано к решению линейных дифференциальных уравненийПравить

Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

$y^{(n)}+a_{n-<!--\; -\; -->1}{y}^{(n-<!--\; -\; -->1)}+a_{n-<!--\; -\; -->2}{y}^{(n-<!--\; -\; -->2)}+\dots <!--\; \dots \; -->+a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=f(t)$${y^{(n)}}+{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+{a_{n-2}}{y^{(n-2)}}+\ldots +{a_{1}}y'+{a_{0}}y=f(t)$

можно свести к эквивалентной системе уравнений нормального вида введя обозначение

${y_{i}}={y^{(i-1)}};{\begin{array}{*{20}{c}}{}&{i=1,2,\ldots ,n}\\\end{array}}$.

Продифференцировав это равенство, получим: $y_i^{\prime }=y^{(i)}=y_{i+1}$${y'_{i}}={y^{(i)}}={y_{i+1}}$

Эти равенства можно рассматривать как уравнения СНВ при $i-<!--\; -\; -->1,2,\dots <!--\; \dots \; -->,n-<!--\; -\; -->1$$i-1,2,\dots ,n-1$. Последнее уравнение можно получить из исходного уравнения перенеся все члены, кроме $y^{(n)}$$y^{{(n)}}$, в правую часть, записав их в обратном порядке и выразив производные через переменные с соответствующим номером:

$\begin{array}{l}{y}^{(n)}=-<!--\; -\; -->a_{0}y-<!--\; -\; -->a_1{y}^{\prime }-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->a_{n-<!--\; -\; -->2}{y}^{(n-<!--\; -\; -->2)}-<!--\; -\; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}{y}^{(n-<!--\; -\; -->1)}+f(x);\\ {y^{\prime }}_n=-<!--\; -\; -->a_0{y}_1-<!--\; -\; -->a_1{y}_2-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->-<!--\; -\; -->a_{n-<!--\; -\; -->2}{y}_{n-<!--\; -\; -->1}-<!--\; -\; -->a_{n-<!--\; -\; -->1}{y}_n+f(x)\end{array}$${\begin{array}{l}{y^{(n)}}=-{a_{0}}y-{a_{1}}y'-\ldots -{a_{n-2}}{y^{(n-2)}}-{a_{n-1}}{y^{(n-1)}}+f(x);\\{{y'}_{n}}=-{a_{0}}{y_{1}}-{a_{1}}{y_{2}}-\ldots -{a_{n-2}}{y_{n-1}}-{a_{n-1}}{y_{n}}+f(x)\\\end{array}}$

Тогда получаем эквивалентную систему нормального вида:

$Y^{\prime }=AY+F$$Y'=AY+F$.

Матрица $A$$A$ и вектор $F$$F$ этой системы имеют вид:

$A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&0&1&\cdots &0&0\\.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.\\0&0&0&0&\cdots &0&1\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}&{-{a_{2}}}&{-{a_{3}}}&\cdots &{-{a_{n-2}}}&{-{a_{n-1}}}\\\end{array}}\right]$; $F={\left\{0,\dots <!--\; \dots \; -->,0,f(x)\right\}}^T$$F={\left\{{0,\ldots ,0,f(x)}\right\}^{T}}$.

В векторе $Y$$Y$ каждый последующий элемент является производной от предыдущего. Следовательно, каждая последующая строка в $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}$$\Omega$, начиная со второй, является производной от предыдущей:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{ij}={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{i-<!--\; -\; -->1,j}^{\prime }$${\omega _{ij}}={\omega '_{i-1,j}}$

Если обозначить ${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{1j}={\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_j$${\omega _{1j}}={\psi _{j}}$, то матрицант можно представить в виде:

$\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}=W=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1,{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n\\ {{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }}_1,{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }}_2,\dots <!--\; \dots \; -->,{{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}^{\prime }}_n\\ \cdots <!--\; \cdots \; -->\\ {\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_1^{(n-<!--\; -\; -->1)},{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_2^{(n-<!--\; -\; -->1)},\dots <!--\; \dots \; -->,{\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}}_n^{(n-<!--\; -\; -->1)}\end{array}\right]$$\Omega =W=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{\psi _{1}},{\psi _{2}},\ldots ,{\psi _{n}}}\\{{{\psi '}_{1}},{{\psi '}_{2}},\ldots ,{{\psi '}_{n}}}\\\cdots \\{\psi _{1}^{(n-1)},\psi _{2}^{(n-1)},\ldots ,\psi _{n}^{(n-1)}}\\\end{array}}\right]$

Таким образом, матрицант для эквивалентной системы нормального вида, представляет собой матрицу Вронского[1], причем система фундаментальных решений нормирована в нуле.

Ряд Пеано при решении дифференциальных уравнений второго порядкаПравить

Рассмотрим уравнение с произвольными переменными коэффициентами:

$y^{″}+a_1\left(t\right)y^{\prime }+a_0\left(t\right)y=p\left(t\right)$$y''+{a_{1}}\left(t\right)\,y'+{a_{0}}\left(t\right)\,y=p\left(t\right)$.

Это уравнение сводится к системе нормального вида:

$Y={\left\{y,y^{\prime }\right\}}^T$$Y={\left\{{\,y,\,\,y'}\right\}^{T}}$; $A=\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\;0}&{\;1}\\{-{a_{0}}}&{-{a_{1}}}\\\end{array}}\right]$; $F={\left\{0,p\left(t\right)\right\}}^T$$F={\left\{{\,0\,,\,p\left(t\right)}\right\}^{T}}$.

Если $a_1=0$$a_{1}=0$, то элементы матрицанта можно представить в виде:

$\{\begin{array}{c}{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{11}=1-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0+\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0+...\\ {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{12}=x-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x+\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x+...\\ {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{21}=-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0+\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0+\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0-<!--\; -\; -->...\\ {\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{22}=1-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x+\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x-<!--\; -\; -->\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x+...\end{array}$$\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{{\omega _{11}}=1-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+...}\\{{\omega _{12}}=x-\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}x+...}\\{{\omega _{21}}=-\int \limits _{}^{}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}-}...}\\{{\omega _{22}}=1-\int \limits _{}^{}{{a_{0}}x}+\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+...}\\\end{array}}\right.$

Если интегралы берутся, то решение представимо в виде рядов по некоторым функциям. В качестве примера применения этих формул рассмотрим уравнение колебаний

$y^{″}+{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{2}y=0$$y''+{\omega ^{2}}\,y=0$, $a_0=-<!--\; -\; -->{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2;a_1=0$${a_{0}}=-{\omega ^{2}};\quad {a_{1}}=0$.

Элементы матрицанта получаем в виде следующих рядов:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{11}=1-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{t}^2}{4}+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^4{t}^4}{24}-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->=\cos <!--\; \; -->\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$${\omega _{11}}=1-{\frac {{\omega ^{2}}\,{t^{2}}}{4}}+{\frac {{\omega ^{4}}\,{t^{4}}}{24}}-\,\ldots =\cos \omega \,t\,$;

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{12}=t.-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2{t}^3}{6}+\frac{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^4{t}^5}{120}-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->={\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}\sin \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}t$${\omega _{12}}=t\;.-{\frac {{\omega ^{2}}{t^{3}}}{6}}+{\frac {{\omega ^{4}}{t^{5}}}{120}}-\,\ldots ={\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega \,t$.

Элементы второй строки в матрицанте получаются дифференцированием первой строки:

$\Omega =\left[{\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \,\omega t}&{{\omega ^{-1}}\,\sin \,\omega t}\\{-\omega \,\sin \,\omega t}&{\cos \,\omega t}\\\end{array}}\right]\,$.

Большой практический интерес представляет решение задачи Штурма-Лиувилля[1] для уравнений вида:

$y^{″}+\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}}_{0}y=0;a_0=-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{a}}_0$$y''+\,\lambda \,{{\bar {a}}_{0}}y=0;\quad {a_{0}}=-\lambda \,{{\bar {a}}_{0}}$.

В этом случае элементы рядов будут умножаться на соответствующую степень числа $\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}$$\lambda$. Например:

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{12}=x-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^3\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_{0}x+\dots <!--\; \dots \; -->$${\omega _{12}}=x-\lambda \int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}x+\ldots }$

${\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}_{21}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^2\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0-<!--\; -\; -->{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^3\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0+{\mathrm{\lambda <!--\; \lambda \; -->}}^4\underset{}{\overset{}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0\underset{}{\overset{2}{\int <!--\; \int \; -->}}{a}_0-<!--\; -\; -->\dots <!--\; \dots \; -->\dots <!--\; \dots \; -->$${\omega _{21}}=-\lambda \int \limits _{}^{}{a_{0}}+{\lambda ^{2}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-{\lambda ^{3}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}+{\lambda ^{4}}\int \limits _{}^{}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{{a_{0}}\int \limits _{}^{2}{a_{0}}-\ldots }\ldots }$

При выполнении граничных условий на краях промежутка изменения аргумента эти формулы позволяют составить полином, корни которого дают весь спектр собственных чисел [4].

Реализация алгоритма в численном видеПравить

В тех случаях, когда интегралы не берутся или получаются слишком сложные и громоздкие выражения, возможен численный алгоритм решения задачи. Интервал изменения аргумента разбивается множеством узлов на достаточно малые равные промежутки. Все функции, участвующие в решении задачи, задаются множеством значений в узлах сетки. Каждая функция имеет свой вектор значений в узлах сетки. Все интегралы вычисляются численно, например, с помощью метода трапеций.

Решение прикладных задачПравить

Алгоритмы, основанные на применения ряда Пеано, применяются при решении задач статики, динамики и устойчивости для стержней, пластин и оболочек с переменными параметрами. При расчете двумерных систем применяются методы понижения размерности. При расчете оболочек вращения параметры оболочки и нагрузки в окружном направлении описываются тригонометрическими рядами. Система уравнений нормального вида составляется для каждой гармоники, описывающей изменение свойств оболочки, усилий и деформаций в продольном направлении, и получается общее решение краевой задачи. Эта часть задачи обычно решается численно. Затем с помощью условий совместности эти гармоники объединяются, и получается напряженно-деформированное состояние оболочки, изменяющееся в продольном и окружном направлении.