Бета-функция

Это статья о бета-функции Эйлера. См. также статью о бета-функции Дирихле.

В математике бета-функцией ($\mathrm{B}$$\mathrm{B}$-функцией, бета-функцией Эйлера или интегралом Эйлера I рода) называется следующая специальная функция от двух переменных:

График бета-функции при вещественных аргументах

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int <!--\; \int \; -->}}{t}^{x-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->t{)}^{y-<!--\; -\; -->1}dt,$$\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,$

определённая при $\mathrm{Re}<!--\; \; -->x>0$$\operatorname {Re} x>0$, $\mathrm{Re}<!--\; \; -->y>0$$\operatorname {Re} y>0$.

Бета-функция была изучена Эйлером, Лежандром^{[когда?]}, а название ей дал Жак Бине.

СвойстваПравить

Бета-функция симметрична относительно перестановки переменных, то есть

$\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}<!--\; \; -->(y,x).$$\mathrm {B} (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x).$ 

Бета-функцию можно выразить через другие функции:

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(y)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+y)},$$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}},$ 

где $\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)$$\Gamma (x)$  — Гамма-функция;

$\mathrm{B}(x,y)=2\underset{0}{\overset{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}{\int <!--\; \int \; -->}}{\sin }^{2x-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{\cos }^{2y-<!--\; -\; -->1}<!--\; \; -->\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{Re}<!--\; \; -->x>0,\mathrm{Re}<!--\; \; -->y>0;$$\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;$ 

$\mathrm{B}(x,y)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\int <!--\; \int \; -->}}\frac{t^{x-<!--\; -\; -->1}}{(1+t{)}^{x+y}}dt,\mathrm{Re}<!--\; \; -->x>0,\mathrm{Re}<!--\; \; -->y>0;$$\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;$ 

$\mathrm{B}(x,y)=\frac{1}{y}\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^n\frac{(y{)}_{n+1}}{n!(x+n)},$$\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)_{n+1}}{n!(x+n)}},$ 

где $(x{)}_n$$(x)_{n}$  — нисходящий факториал, равный $x\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->1)\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->2)\cdot <!--\; \cdot \; -->\dots <!--\; \dots \; -->\cdot <!--\; \cdot \; -->(x-<!--\; -\; -->n+1)$$x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$ .

Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция является обобщением биномиальных коэффициентов с немного изменёнными параметрами:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{1}{(n+1)\mathrm{B}(n-<!--\; -\; -->k+1,k+1)}.$${\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$ 

Бета-функция удовлетворяет двумерному разностному уравнению:

$\mathrm{B}(x,y)-<!--\; -\; -->\mathrm{B}(x+1,y)-<!--\; -\; -->\mathrm{B}(x,y+1)=0.$$\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.$ 

ПроизводныеПравить

Частные производные у бета-функции следующие:

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)\left(\frac{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }(x)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x)}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+y)}\right)=\mathrm{B}(x,y)(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x+y)),$${\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\big )},$ 

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}y}\mathrm{B}(x,y)=\mathrm{B}(x,y)\left(\frac{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }(y)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(y)}-<!--\; -\; -->\frac{{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}}^{\prime }(x+y)}{\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(x+y)}\right)=\mathrm{B}(x,y)(\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(y)-<!--\; -\; -->\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x+y)),$${\frac {\partial }{\partial y}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y)}{\Gamma (y)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\big )},$ 

где $\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->}(x)$$\psi(x)$  — дигамма-функция.

Неполная бета-функцияПравить

Неполная бета-функция — это обобщение бета-функции, заменяющее интеграл по отрезку $[0,1]$$[0, 1]$  на интеграл с переменным верхним пределом:

${\mathrm{B}}_x(a,b)=\underset{0}{\overset{x}{\int <!--\; \int \; -->}}{t}^{a-<!--\; -\; -->1}(1-<!--\; -\; -->t{)}^{b-<!--\; -\; -->1}dt.$$\mathrm {B} _{x}(a,b)=\int \limits _{0}^{x}t^{a-1}(1-t)^{b-1}\,dt.$ 

При $x=1$$x=1$  неполная бета-функция совпадает с полной.

Регуляризованная неполная бета-функция определяется через полную и неполную бета-функции:

$I_x(a,b)=\frac{{\mathrm{B}}_x(a,b)}{\mathrm{B}(a,b)}.$$I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} _{x}(a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.$ 

Свойства $I(x)$$I(x)$ Править

$I_0(a,b)=0,$$I_{0}(a,b)=0,$ 

$I_1(a,b)=1,$$I_{1}(a,b)=1,$ 

$I_x(a,b)=1-<!--\; -\; -->I_{1-<!--\; -\; -->x}(b,a),$$I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a),$ 

$I_x(a+1,b)=I_x(a,b)-<!--\; -\; -->\frac{x^a(1-<!--\; -\; -->x{)}^b}{aB(a,b)}.$$I_{x}(a+1,b)=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}.$ 

ЛитератураПравить

Кузнецов Д. С. Специальные функции (1962) — 249 с.

См. такжеПравить

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера
• Гамма-функция