Метод регуляризации Тихонова

Метод регуляризации Тихонова — алгоритм, позволяющий находить приближённое решение некорректно поставленных операторных задач вида $Ax=u$$Ax=u$. Был разработан А. Н. Тихоновым в 1965 году. Основная идея заключается в нахождении приближённого решения уравнения $Ax=u$$Ax=u$ в виде $x_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}=R(u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$x_{\delta }=R(u_{\delta },\alpha )$, где $R(u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$R(u_{\delta },\alpha )$ — регуляризирующий оператор. Он должен гарантировать, что при приближении $u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$u_{\delta }$ к точному значению $u_T$$u_{T}$ при $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\delta \to 0$ приближённое решение $x_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$x_{\delta }$ стремилось бы к желаемому точному решению $x_T$$x_{T}$ уравнения $A{x}_T=u_T$$Ax_{T}=u_{T}$.

Регуляризирующий операторПравить

Оператор $R(u,\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$R(u,\alpha )$ , зависящий от параметра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , называется регуляризующим для уравнения $Ax=u$$Ax=u$ , если он обладает свойствами:

• Определён для всякого $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}>0$$\alpha >0$  и любого $u\in <!--\; \in \; -->U$$u\in U$ .
• Если выполняется $A{x}_T=u_T$$Ax_{T}=u_{T}$ , то существует такое $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$\alpha (\delta )$ , что для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  найдётся такое $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$\delta (\varepsilon )$ , что если ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_U(u_T,u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}})⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})$$\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })\leqslant \delta (\varepsilon )$ , то ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_F(x_T,x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}})⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\rho _{F}(x_{T},x_{\alpha })\leqslant \varepsilon$ , где $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=R(u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$x_{\alpha }=R(u_{\delta },\alpha )$ , $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->})$$\alpha =\alpha (\delta )$ , ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_U$$\rho _{U}$  — метрика в пространстве $U$$U$  (то есть ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_U(u_T,u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}})$$\rho _{U}(u_{T},u_{\delta })$  — расстояние между векторами $u_T$$u_{T}$  и $u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}$$u_{\delta }$ ), а ${\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_F$$\rho _{F}$  — метрика в пространстве $X$$X$ .

Способ построения регуляризирующих операторовПравить

Для широкого класса уравнений $Ax=u$$Ax=u$  А. Н. Тихонов показал, что решение задачи $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$x_{{\alpha }}$  минимизации функционала $M^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}\left[u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},x\right]={\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_U^2(Ax,u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}})+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left[x\right]$$M^{\alpha }\left[u_{\delta },x\right]=\rho _{U}^{2}(Ax,u_{\delta })+\alpha \Omega \left[x\right]$  можно рассматривать как результат применения регуляризирующего оператора, зависящего от параметра $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$  $x_{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}=R_1(u_{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}},\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->})$$x_{{\alpha }}=R_{{1}}(u_{{\delta }},\alpha )$ . Функционал $\mathrm{\Omega <!--\; \Omega \; -->}\left[x\right]$$\Omega \left[x\right]$  называется стабилизатором задачи $Ax=u$$Ax=u$ .

Пример примененияПравить

Найдём нормальное (наиболее близкое к началу координат) решение $X$$X$  системы линейных уравнений $AX=B$$AX=B$  с точностью, соответствующей точности задания элементов матрицы $A$$A$  и столбца $B$$B$  в случае, когда значения элементов матрицы $A$$A$  и столбца свободных членов $B$$B$  заданы лишь приближённо.

Постановка задачиПравить

Рассмотрим систему линейных уравнений в матричной форме: $AX=B$$AX=B$ . Назовем сферическими нормами величины $\Vert <!--\; \Vert \; -->B\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_i^2},\Vert <!--\; \Vert \; -->X\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{x}_j^2},\Vert <!--\; \Vert \; -->A\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{\underset{i=1}{\overset{m}{\sum <!--\; \sum \; -->}}\underset{j=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{a}_{ij}^2}$$\|B\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}b_{i}^{2}}},\|X\|={\sqrt {\sum _{j=1}^{n}x_{j}^{2}}},\|A\|={\sqrt {\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}^{2}}}$ . Обозначим как $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B}$${\tilde {A}},{\tilde {B}}$  известные приближённые значения элементов матрицы $A$$A$  и столбца $B$$B$ . Матрицу $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}$${\tilde {A}}$  и столбец $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B}$${\tilde {B}}$  будем называть $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ -приближением матрицы $A$$A$  и столбца $B$$B$ , если выполняются неравенства $\|A-{\tilde {A}}\|<\delta ,\|B-{\tilde {B}}\|<\delta$ . Введём в рассмотрение функционал $F(X,\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B})=\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}X-<!--\; -\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\Vert <!--\; \Vert \; -->X{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$$F(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}})=\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|^{2}+\alpha \|X\|^{2}$ . Теорема Тихонова сводит вопрос о приближённом нахождении нормального решения системы уравнений $AX=B$$AX=B$  к отысканию того элемента $X^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$X^{\alpha }$ , на котором достигает минимальное значение этот функционал.

Теорема ТихоноваПравить

Пусть матрица $A$$A$  и столбец $B$$B$  удовлетворяют условиям, обеспечивающим совместность системы $AX=B$$AX=B$ , $X^0$$X^{{0}}$  — нормальное решение этой системы, $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}$${\tilde {A}}$  — $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ -приближение матрицы $A$$A$ , $\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B}$${\tilde {B}}$  — $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ -приближение столбца $B$$B$ , $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)$$\varepsilon \left(\delta \right)$  и $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\left(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)$$\alpha \left(\delta \right)$  — какие-либо возрастающие функции $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$\delta$ , стремящиеся к нулю при $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\to <!--\; \to \; -->+0$$\delta \rightarrow +0$  и такие, что ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}^2⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\left(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)$$\delta ^{2}\leqslant \varepsilon \left(\delta \right)\alpha \left(\delta \right)$ . Тогда для любого $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}>0$$\varepsilon >0$  найдётся положительное число ${\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_0$$\delta _{{0}}$  такое, что при любом $\delta <\delta _{{0}}$  и при любом $\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}$$\alpha$ , удовлетворяющем условию $\frac{1}{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\left(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\left(\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\right)$${\frac {1}{\varepsilon \left(\delta \right)}}\leqslant \alpha \leqslant \alpha \left(\delta \right)$ , элемент $X^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}$$X^{{\alpha }}$ , доставляющий минимум функционалу $F\left(X,\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A},\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B}\right)={\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{A}X-<!--\; -\; -->\stackrel{~<!--\; ~\; -->}{B}\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2+\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}{\Vert <!--\; \Vert \; -->X\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2$$F\left(X,{\tilde {A}},{\tilde {B}}\right)={\|{\tilde {A}}X-{\tilde {B}}\|}^{2}+\alpha {\|X\|}^{2}$ , удовлетворяет неравенству $\Vert <!--\; \Vert \; -->X^{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}-<!--\; -\; -->X^0\Vert <!--\; \Vert \; -->⩽<!--\; ⩽\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}$$\|X^{\alpha }-X^{0}\|\leqslant \varepsilon$ .

ЛитератураПравить

• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с. — ISBN 5-9221-0481-0.
• Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1979. — 283 с.
• Арсенин В. Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974. — 430 с.