Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой на плоскости — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.

Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.

Декартова система координатПравить

Прямая задана уравнениемПравить

Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — такие вещественные константы, что a и b не равны нулю одновременно, и расстояние от прямой до точки (x₀,y₀) равно

$\mathrm{distance}<!--\; \; -->(ax+by+c=0,(x_0,y_0))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$ 

Точка на прямой, наиболее близкая к (x₀,y₀), имеет координаты

$x=\frac{b(b{x}_0-<!--\; -\; -->a{y}_0)-<!--\; -\; -->ac}{a^2+b^2}$$x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2}}}$  и $y=\frac{a(-<!--\; -\; -->b{x}_0+a{y}_0)-<!--\; -\; -->bc}{a^2+b^2}.$$y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.$ 

Горизонтальные и вертикальные прямые

В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c ненулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x₀, y₀) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y₀ — (-c/b)| = |by₀ + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax₀ + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.

Нормированное уравнение прямой

Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида

$x\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->p=0$$x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0$ 

Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на $\sqrt{a^2+b^2}$${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ . Тогда расстояние от точки (x₀, y₀) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле

$|d|=|x_0\cos <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}+y_0\sin <!--\; \; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}-<!--\; -\; -->p|$$|d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|$ 

Прямая задана двумя точкамиПравить

Если прямая проходит через две точки P₁=(x₁,y₁) и P₂=(x₂,y₂), и необходимо найти расстояние от $M=(x_0,y_0)$$M=(x_{0},y_{0})$  до прямой, то можно воспользоваться следующими способами:

Способ 1. Искомое расстояние равно

$\mathrm{distance}<!--\; \; -->(P_1,P_2,(x_0,y_0))=\frac{|(y_2-<!--\; -\; -->y_1)x_0-<!--\; -\; -->(x_2-<!--\; -\; -->x_1)y_0+x_2{y}_1-<!--\; -\; -->y_2{x}_1|}{\sqrt{(y_2-<!--\; -\; -->y_1{)}^2+(x_2-<!--\; -\; -->x_1{)}^2}}.$$\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.$ 

Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P₁ и P₂. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x₀,y₀), P₁ и P₂ (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно $h=\frac{2A}{b}$${\textstyle h={\frac {2A}{b}}}$ , что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: $A=\frac{1}{2}bh$${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$ , где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.

Способ 2. Сначала находится ближайшая точка на прямой к точке $M$$M$  по формуле

$M_p=P_1+\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P_1{P}_2}\ast <!--\; \ast \; -->\frac{(\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P_1{P}_2},\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P_{1}M})}{\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{P_1{P}_2}{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2}$$M_{p}=P_{1}+{\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}*{({\overrightarrow {P_{1}P_{2}}},{\overrightarrow {P_{1}M}}) \over \lVert {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\rVert ^{2}}$ .

Тогда искомое расстояние равно

$\mathrm{distance}<!--\; \; -->(P_1,P_2,M)=\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{M{M}_p}\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},M)=\lVert {\overrightarrow {MM_{p}}}\rVert$ .

ДоказательстваПравить

Алгебраическое доказательствоПравить

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.

Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x₀, y₀). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что

$\frac{y_0-<!--\; -\; -->n}{x_0-<!--\; -\; -->m}=\frac{b}{a}.$${\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.$ 

Таким образом, $a(y_0-<!--\; -\; -->n)-<!--\; -\; -->b(x_0-<!--\; -\; -->m)=0,$$a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$  и после возведения в квадрат получим:

$a^2(y_0-<!--\; -\; -->n{)}^2+b^2(x_0-<!--\; -\; -->m{)}^2-<!--\; -\; -->2ab(y_0-<!--\; -\; -->n)(x_0-<!--\; -\; -->m)=0.$$a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}-2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)=0.$ 

Рассмотрим,

$(a(x_0-<!--\; -\; -->m)+b(y_0-<!--\; -\; -->n){)}^2=a^2(x_0-<!--\; -\; -->m{)}^2+2ab(y_0-<!--\; -\; -->n)(x_0-<!--\; -\; -->m)+b^2(y_0-<!--\; -\; -->n{)}^2=(a^2+b^2)((x_0-<!--\; -\; -->m{)}^2+(y_0-<!--\; -\; -->n{)}^2)$$(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_{0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})$ 

Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но

$(a(x_0-<!--\; -\; -->m)+b(y_0-<!--\; -\; -->n){)}^2=(a{x}_0+b{y}_0-<!--\; -\; -->am-<!--\; -\; -->bn{)}^2=(a{x}_0+b{y}_0+c{)}^2$$(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$ ,

так как точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,

$(a^2+b^2)((x_0-<!--\; -\; -->m{)}^2+(y_0-<!--\; -\; -->n{)}^2)=(a{x}_0+b{y}_0+c{)}^2$$(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+by_{0}+c)^{2}$ 

Из этого получаем длину отрезка между этими двумя точками:

$d=\sqrt{(x_0-<!--\; -\; -->m{)}^2+(y_0-<!--\; -\; -->n{)}^2}=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$  .

Геометрическое доказательствоПравить

 

Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт не упомянули это ограничение в своей статье.

Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x₀, y₀) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.

Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая). Выпишем отношения сторон этих треугольников:

$\frac{|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{PR}|}{|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{PS}|}=\frac{|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{TV}|}{|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{TU}|}.$${\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline {TU}}|}}.$ 

Если точка S имеет координаты (x₀,m), то |PS| = |y₀ — m| и расстояние от P до прямой равно:

$|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{PR}|=\frac{|y_0-<!--\; -\; -->m||B|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$ 

Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,

$m=\frac{-<!--\; -\; -->A{x}_0-<!--\; -\; -->C}{B},$$m={\frac {-Ax_{0}-C}{B}},$ 

и получаем:

$|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{PR}|=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.$$|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.$ 

Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим $D|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{TU}|=|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{VU}||\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{VT}|$$D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|$ , где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить $|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{TU}|$$|{\overline {TU}}|$ , $|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{VU}|$$|{\overline {VU}}|$  и $|\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{VT}|$$|{\overline {VT}}|$ в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.

Доказательство с помощью проекции вектораПравить

 

Пусть P — точка с координатами (x₀, y₀) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x₁, y₁) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{QP}$${\overrightarrow {QP}}$  на n. Длина этой проекции равна:

$d=\frac{|\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{QP}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}|}{\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathbf{n}\Vert <!--\; \Vert \; -->}.$$d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.$ 

Теперь

$\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{QP}=(x_0-<!--\; -\; -->x_1,y_0-<!--\; -\; -->y_1),$${\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),$  так что $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{QP}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}=a(x_0-<!--\; -\; -->x_1)+b(y_0-<!--\; -\; -->y_1)$${\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})$  и $\Vert <!--\; \Vert \; -->\mathbf{n}\Vert <!--\; \Vert \; -->=\sqrt{a^2+b^2}.$$\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$ 

Тогда

$d=\frac{|a(x_0-<!--\; -\; -->x_1)+b(y_0-<!--\; -\; -->y_1)|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$ 

Поскольку Q лежит на прямой, $c=-<!--\; -\; -->a{x}_1-<!--\; -\; -->b{y}_1$$c=-ax_{1}-by_{1}$ , а тогда

$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.$$d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$ 

Другие формулыПравить

Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.

Пусть точка P задана координатами ($x_0,y_0$$x_{0},y_{0}$ ). Пусть прямая задана уравнением $y=mx+k$$y=mx+k$ . Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением $y=\frac{x_0-<!--\; -\; -->x}{m}+y_0$$y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$ .

Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:

$mx+k=\frac{x_0-<!--\; -\; -->x}{m}+y_0.$$mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.$ 

Мы можем решить это уравнение по x,

$x=\frac{x_0+m{y}_0-<!--\; -\; -->mk}{m^2+1}.$$x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}.$ 

Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,

$y=m\frac{(x_0+m{y}_0-<!--\; -\; -->mk)}{m^2+1}+k.$$y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.$ 

Подставив полученные значения в формулу расстояния $d=\sqrt{(X_2-<!--\; -\; -->X_1{)}^2+(Y_2-<!--\; -\; -->Y_1{)}^2}$$d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2}}}$ , получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:

$d=\sqrt{{\left(\frac{x_0+m{y}_0-<!--\; -\; -->mk}{m^2+1}-<!--\; -\; -->x_0\right)}^2+{\left(m\frac{x_0+m{y}_0-<!--\; -\; -->mk}{m^2+1}+k-<!--\; -\; -->y_0\right)}^2}.$$d={\sqrt {\left({{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}}}.$ 

Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение.

Формулировка с помощью векторовПравить

 

Иллюстрация формулировки с помощью векторов.

Запишем прямую в векторном виде:

$\mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{n}$$\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}$ ,

где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.

Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой

$\mathrm{distance}<!--\; \; -->(\mathbf{x}=\mathbf{a}+t\mathbf{n},\mathbf{p})=\Vert <!--\; \Vert \; -->(\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})-<!--\; -\; -->((\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n})\mathbf{n}\Vert <!--\; \Vert \; -->.$$\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.$ 

Эта формула геометрически строится следующим образом: $\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p}$$\mathbf {a} -\mathbf {p}$  — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда $(\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n}$$(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n}$  — это длина проекции на прямую, а тогда

$((\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n})\mathbf{n}$$((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ 

— это вектор, являющийся проекцией $\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p}$$\mathbf {a} -\mathbf {p}$  на прямую. Тогда

$(\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})-<!--\; -\; -->((\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p})\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathbf{n})\mathbf{n}$$(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ 

является компонентой вектора $\mathbf{a}-<!--\; -\; -->\mathbf{p}$$\mathbf {a} -\mathbf {p}$ , перпендикулярной прямой. Следовательно, расстояние от точки до прямой равно норме этого вектора. Эта формула может быть использована и в более высоких размерностях.

Другая формулировка с помощью векторовПравить

Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления^[en] $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$$\vec u$ , то расстояние от точки A до прямой (d) равно

$d(\mathrm{A},(d))=\frac{\Vert \stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}\mathrm{A}}\wedge <!--\; \wedge \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\Vert }{\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\Vert <!--\; \Vert \; -->}$$d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{\|{\vec {u}}\|}}$ ,

где $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}\mathrm{A}}\wedge <!--\; \wedge \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}$  — векторное произведение векторов $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{\mathrm{B}\mathrm{A}}$${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}$  и $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$$\vec u$ , а $\Vert <!--\; \Vert \; -->\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}\Vert <!--\; \Vert \; -->$$\|{\vec {u}}\|$  — норма вектора $\stackrel{\to <!--\; \to \; -->}{u}$$\vec u$ .

ОбобщенияПравить

• Расстояние от точки в трёхмерном пространстве до плоскости задаётся аналогичной формулой:

$\mathrm{distance}<!--\; \; -->(ax+by+cz+d=0,(x_0,y_0,z_0))=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$\operatorname {distance} (ax+by+cz+d=0,(x_{0},y_{0},z_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$ 

См. такжеПравить

• Пересечение двух прямых^[en]
• Расстояние между двумя прямыми
• Расстояние между скрещивающимися прямыми

ЛитератураПравить

• Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
• Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
• Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
• Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
• Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
• Ballantine J. P., Jerbert A. R.  Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — doi:10.2307/2306514.
• Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
• Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.

Дополнительная литератураПравить

• Deza M. M., Deza E. . Encyclopedia of Distances. 2nd ed. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2013. — xviii + 650 p. — ISBN 978-3-642-30957-1. — P. 86.