Распределение Колмогорова

Распределе́ние Колмого́рова в теории вероятностей — это абсолютно непрерывное распределение, широко используемое в математической статистике для оценки распределения выборки.

Распределение Колмогорова
Носитель	$[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0,\infty)$
Функция распределения	$\underset{k=-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\sum <!--\; \sum \; -->}}(-<!--\; -\; -->1{)}^k\exp <!--\; \; -->(-<!--\; -\; -->2k^2{x}^2),x>0$$\sum _{{k=-\infty }}^{{\infty }}(-1)^{k}\exp(-2k^{2}x^{2}),\,x>0$

ОпределениеПравить

Случайная величина $X$$X$  имеет распределение Колмогорова, если её функция распределения $F_X$$F_{X}$  имеет вид:

$F_{X}(x)=K(x)={\begin{cases}\sum \limits _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}e^{-2k^{2}x^{2}},&x>0;\\0,&x\leqslant 0.\end{cases}}$ 

Обозначается: $X\sim <!--\; \sim \; -->\mathrm{K}$$X\sim {\mathrm {K}}$ .

Связь с другими объектами теории вероятностейПравить

• Случайная величина

$X=\underset{t\in <!--\; \in \; -->[0,1]}{sup}|B(t)|,$$X=\sup _{{t\in [0,1]}}|B(t)|,$ 

где $B(t)$$B(t)$  — броуновский мост, имеет распределение Колмогорова.

• Пусть $X_1,\dots <!--\; \dots \; -->,X_n$$X_{1},\ldots ,X_{n}$  — выборка объёма $n$$n$ , порождённая случайной величиной с непрерывной функцией распределения $F(x)$$F(x)$ . Пусть $F_n(x)$$F_{n}(x)$  — выборочная функция распределения. Если ввести обозначение

$D_n=\underset{x\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}}{sup}|F_n(x)-<!--\; -\; -->F(x)|,$$D_{n}=\sup \limits _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|,$  то выполняется

$\underset{n\to <!--\; \to \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{lim}P(\sqrt{n}{D}_n⩽<!--\; ⩽\; -->t)=K(t)$$\lim _{n\to \infty }P({\sqrt {n}}D_{n}\leqslant t)=K(t)$ 

Утверждение носит название теоремы Колмогорова. Его можно использовать для нахождения доверительного интервала функции распределения $F(x)$$F(x)$ .

ЛитератураПравить

• J. Durbin, Regional Conf. Series on Applied Math. 9 (SIAM, 1973)).

См.такжеПравить

• Критерий согласия Колмогорова;
• Теорема Колмогорова;
• Колмогоров, Андрей Николаевич.