Раскраска области определения

Раскраска области определения — это техника визуализации комплексных функций, которая назначает цвет каждой точке комплексной плоскости.

Раскраска области определения как график функции

\text{[math]}

f(x)={\tfrac {(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}}{x^{2}+2+2i}}

f(x)={\tfrac {(x^{2}-1)(x-2-i)^{2}}{x^{2}+2+2i}}

с использованием структурной функции, описанной ниже.

Мотивация: четырёхмерная размерностьПравить

График вещественной функции можно нарисовать в плоскости с координатами x и y. В отличие от вещественных функций, граф комплексной функции (точнее, функции с комплексными значениями от одной комплексной переменной $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $g:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ ) требует визуализацию в четырёхмерном пространстве. Один из способов достижения этого — римановы поверхности, другая возможность — раскраска области определения.

МетодПравить

HL график z с помощью простой функции цвета, описанной в тексте

Граф комплексной функции $\text{[math]}$ z³ − 1, использующий ту же функцию цвета и показывающий три нуля, как и негативные вещественные числа в виде светло-голубых лучей, исходящих из нулей.

Для лучшего отображения комплексные значения представляются цветом. Такое сопоставление называется «функцией цвета». Используется много различных функций цвета. Обычная практика — представлять комплексный аргумент^[en] (известный также как «фаза») цветом из цветового круга, а модуль (или амплитуду) яркостью или насыщенностью.

Простая функция цветаПравить

Следующий пример функции цвета имеет чёрный цвет в нуле, красный в 1, голубой в −1 и белый на бесконечности:

\text{[math]}

{\begin{aligned}H&=\arg z,\\L&=\left(1-2^{-\left|z\right|}\right)\times 100\%,\\S&=100\%.\end{aligned}}

Более точно, функция использует цветовую модель HSL (hue, saturation, lightness = цвет, насыщенность, яркость). Насыщенность всегда имеет максимум в 100 %. Цвета радуги размещаются по кругу на единичной комплексной окружности, так что шесть корней из единицы (начиная с 1) получают цвета: красный, жёлтый, зелёный, голубой, синий и фиолетовый. Модуль (амплитуда) кодируется интенсивностью посредством строго монотонной непрерывной функции.

Поскольку модель HSL не является сенсорно однородной, можно видеть полоски сенсорной яркости жёлтого, голубого и фиолетового цвета (хотя абсолютные значения те же самые, что и у красного, зелёного и синего цвета) и эффект гало вокруг $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $L={\tfrac {1}{2}}$ . Использование LAB корректирует эти эффекты, делая образы более аккуратными, но делает их также более тусклыми/пастельными.

Структурная функция цветаПравить

Модуль (амплитуда) вещественного числа может меняться от 0 до ∞, существенно более широко, чем аргумент (фаза). Поэтому функция цвета сжимает всё множество значений в небольшой разброс амплитуды. Это можно сделать с помощью разрывной функции цвета, имеющей повторяющийся набор значений.

Кроме того, эта функция цвета показывает белые лучи для аргументов 0, π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π, 7π/6, 4π/3, 3π/2, 5π/3, 11π/6 и серую решётку для равных вещественных и мнимых значений. Подобная функция цвета использована в графике в начале статьи.

ИсторияПравить

Вероятно, первое применение метода было в публикации Ларри Крона и Ханса Ландмарка в конце 1980-х^[1].

Термин «раскраска области определения» предложил Франк Харрис около 1998-го года^[2]^[3]. Было много более ранних применений использования цвета для визуализации комплексных функций, которые, обычно, отражали аргумент^[en] (фазу) цветом^[4]. Техника использования непрерывного цвета для отображения точек из области определения в область значений или плоскость изображения использовали в 1999 Джорж Абдо и Пол Годфри ^[5], а цветные решётки использовал в графиках Дуглас Н. Арнольд в 1997^[6].

ОграниченияПравить

Люди, страдающие дальтонизмом, могут испытывать проблемы интерпретации таких графиков.

Фазовые диаграммыПравить

Фазовые диаграммы являются специальной версией раскраски области определения. Всестороннее введение в фазовые диаграммы дано в книге Элиаса Вегерта^[1].

ПримечанияПравить

↑ ¹ ² Wegert, 2012.
↑ Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane Архивная копия от 30 декабря 2012 на Wayback Machine
↑ Hans Lundmark. Visualizing complex analytic functions using domain coloring (неопр.) (2004). Дата обращения: 25 мая 2006. Архивировано из оригинала 2 мая 2006 года.. Ландмарк ссылается на принадлежность термина Фаррису в статье 2004 года.
↑ Rabenhorst, 1990, с. 42.
↑ George Abdo & Paul Godfrey. Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring (неопр.) (1999). Дата обращения: 17 мая 2008. Архивировано из оригинала 16 марта 2020 года.
↑ Douglas N. Arnold. Graphics for complex analysis (неопр.) (2008). Дата обращения: 17 мая 2008. Архивировано 24 сентября 2015 года.

ЛитератураПравить

Elias Wegert. Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits. — Springer Basel, 2012. — С. 29. — ISBN 9783034801799.
David A. Rabenhorst. A Color Gallery of Complex Functions // Pixel: the magazine of scientific visualization. — Pixel Communications, 1990. — Т. 1, вып. 4. — С. 42 et seq.
Elias Wegert. Visual Complex Functions − An Introduction with Phase Portraits. — Springer Basel, 2012. — ISBN 9783034801799.

СсылкиПравить

Color Graphs of Complex Functions
Visualizing complex-valued functions in the plane.
Gallery of Complex Functions
Complex Mapper by Alessandro Rosa
John Davis software — S-Lang script for Domain Coloring
Open source C and Python domain coloring software
Enhanced 3D Domain coloring
Domain Coloring Method on GPU
Java domain coloring software (In development)
MATLAB routines [1]
Python script for GIMP by Michael J. Gruber
Matplotlib and MayaVi implementation of domain coloring by E. Petrisor [2]
MATLAB routines with user interface and various color schemes
MATLAB routines for 3D-visualization of complex functions
Color wheel method
Real-Time Zooming Math Engine
Fractal Zoomer: Software that utilizes domain coloring

[_260a1f7488dfa2fc-1] ¹ ² Wegert, 2012.

[2] Frank A. Farris, Visualizing complex-valued functions in the plane Архивная копия от 30 декабря 2012 на Wayback Machine

[Ludmark1-3] Hans Lundmark. Visualizing complex analytic functions using domain coloring (неопр.) (2004). Дата обращения: 25 мая 2006. Архивировано из оригинала 2 мая 2006 года.. Ландмарк ссылается на принадлежность термина Фаррису в статье 2004 года.

[_0abbd6a42696870e-4] Rabenhorst, 1990, с. 42.

[Abdo1-5] George Abdo & Paul Godfrey. Plotting functions of a complex variable: Table of Conformal Mappings Using Continuous Coloring (неопр.) (1999). Дата обращения: 17 мая 2008. Архивировано из оригинала 16 марта 2020 года.

[Arnold1-6] Douglas N. Arnold. Graphics for complex analysis (неопр.) (2008). Дата обращения: 17 мая 2008. Архивировано 24 сентября 2015 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]