Равновесие дрожащей руки

Равновесие дрожащей руки (англ. trembling hand perfect equilibrium) — принцип оптимальности в некооперативных играх, представляющий собой равновесие Нэша, обладающее дополнительным свойством устойчивости к достаточно малым отклонениям игроков от равновесных стратегий. Сформулировано Р. Зельтеном в работе 1975 года.

Равновесие дрожащей руки
Концепция решения в теории игр
Связанные множества решений
Надмножества	Равновесие Нэша
Подмножества	Собственное равновесие
Факты
Авторство	Рейнхард Зельтен

Формальное определениеПравить

Пусть задана игра в нормальной форме $\Gamma =<I,\{X_{i}\}_{{i\in I}},\{H_{i}\}_{{i\in I}}>$ . Набор смешанных стратегий игроков q называется равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {p_ε} → q, что стратегия q_i является наилучшим ответом игрока i на стратегии остальных игроков из набора p_ε.

Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любой некооперативной игре с конечными множествами стратегий игроков.

ПримерПравить

Приведенная в таблице игра двух лиц отображенная в нормальной форме имеет два равновесия Нэша: (Верх, Лево) and (Низ, Право). Однако, только (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

	Лево	Право
Верх	1, 1	2, 0
Низ	0, 2	2, 2

 

Соотношение равновесных концепций решения. Стрелками обозначено направление от рафинирований к менее требовательным концепциям

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию $(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->},\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})$$(1-\epsilon ,\epsilon )$ , для некоторого $0<\epsilon <1$ . Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играет Лево, составит:

$1(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})+2\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}=1+\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$1(1-\epsilon )+2\epsilon =1+\epsilon$ .

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Право составит:

$0(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})+2\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}=2\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$0(1-\epsilon )+2\epsilon =2\epsilon$ .

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Право с минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегию Низ, если игрок 2 использует смешанную стратегию $(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->},\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})$$(1-\epsilon ,\epsilon )$ . Следовательно, (В, Л) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н, П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию $(\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->},1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})$$(\epsilon ,1-\epsilon )$ . Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он использует Л, составит:

$1\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}+2(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})=2-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$1\epsilon +2(1-\epsilon )=2-\epsilon$ .

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:

$0(\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})+2(1-<!--\; -\; -->\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->})=2-<!--\; -\; -->2\mathrm{ϵ<!--\; ϵ\; -->}$$0(\epsilon )+2(1-\epsilon )=2-2\epsilon$ .

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя П с минимальной частотой. Следовательно, (Н, П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратегии.

ЛитератураПравить

• Зелтен, Р., Харшаньи, Д. Общая теория выбора равновесия в играх. — СПб.: Экономическая школа, 2001.
• Печерский, С. Л., Беляева, А. А. Теория игр для экономистов. Вводный курс. (Учебное пособие) — СПб.: Изд-во Европейского университета, 2001.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games // Math. Soc. Sci. — 1983. — Vol. 5. — P. 269—363.
• Selten, R. Evolutionary stability in extensive two-person games — correction and further development // Math. Soc. Sci. — 1988. — Vol. 16. — P. 223—266.