Пятиугольная пирамида

Пятиуго́льная пирами́да — пирамида, имеющая пятиугольное основание.

Пятиугольная пирамида
(3D-модель)
Тип	многогранник Джонсона
Свойства	выпуклая
Комбинаторика
Элементы	6 граней 10 рёбер 6 вершин Χ = 2
Грани	5 треугольников 1 пятиугольник
Конфигурация вершины	5(32.5) 1(35)
Двойственный многогранник	самодвойственна
Развёртка
Классификация
Обозначения	J2, М3
Символ Шлефли	( ) ∨ {5}
Группа симметрии	C5v
Медиафайлы на Викискладе

Составлена из 6 граней: 5 треугольников и 1 пятиугольника. Имеет 10 рёбер и 6 вершин.

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники, пирамида является правильной и имеет группу симметрии C_5v.

Правильная (слева) и неправильная (справа) пятиугольные пирамиды

Многогранник ДжонсонаПравить

Если основание пятиугольной пирамиды — правильный пятиугольник, а боковые грани — равносторонние треугольники, пирамида является одним из многогранников Джонсона (J₂, по Залгаллеру — М₃).

Если рёбра такой пирамиды имеют длину $a$$a$ , её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}\left(5\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{3,885}5409a^2,$$S={\frac {1}{4}}\left(5{\sqrt {3}}+{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a^{2}\approx 3{,}8855409a^{2},$ 

$V=\frac{1}{24}\left(5+\sqrt{5}\right)a^3\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,301}5028a^3.$$V={\frac {1}{24}}\left(5+{\sqrt {5}}\right)a^{3}\approx 0{,}3015028a^{3}.$ 

Высота пирамиды при этом будет равна

$H=\sqrt{\frac{5-<!--\; -\; -->\sqrt{5}}{10}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,525}7311a,$$H={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}\;a\approx 0{,}5257311a,$ 

радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) —

$R=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,951}0565a,$$R={\frac {1}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\;a\approx 0{,}9510565a,$ 

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,809}0170a,$$\rho ={\frac {1}{4}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)a\approx 0{,}8090170a,$ 

радиус вписанной сферы (касающейся всех граней) —

$r=\frac{1}{40}\left(3+\sqrt{5}\right)\left(5\sqrt{3}-<!--\; -\; -->\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a\approx <!--\; \approx \; -->\mathrm{0,232}7883a.$$r={\frac {1}{40}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\left(5{\sqrt {3}}-{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)a\approx 0{,}2327883a.$ 

СсылкиПравить

• Weisstein, Eric W. Пятиугольная пирамида (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.