Псевдовыпуклая функция

Псевдовыпуклая функция — это функция, которая ведёт себя подобно выпуклой функции с точки зрения нахождения её локального минимума, но не обязательно выпукла. Неформально, дифференцируемая функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где имеет положительную производную по направлению.

Формальное определениеПравить

Вещественнозначная функция ƒ, определённая на (непустом) выпуклом открытом множестве X в конечномерном евклидовом пространстве ${\mathbb{R}}^n$$\mathbb {R} ^{n}$ , называется псевдовыпуклой, если для всех x, y ∈ X, таких что $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f(x)\cdot <!--\; \cdot \; -->(y-<!--\; -\; -->x)⩾<!--\; ⩾\; -->0$$\nabla f(x)\cdot (y-x)\geqslant 0$ , мы имеем $f(y)⩾<!--\; ⩾\; -->f(x)$$f(y)\geqslant f(x)$ . Здесь $\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f$$\nabla f$  является градиентом ƒ, определённым формулой

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f=\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_1},\dots <!--\; \dots \; -->,\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}_n}\right).$$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$ 

СвойстваПравить

Любая выпуклая функция псевдовыпукла, но обратное неверно. Например, функция $f(x)=x+x^3$$f(x)=x+x^{3}$  псевдовыпукла, но не выпукла. Любая псевдовыпуклая функция квазивыпукла, но обратное не верно, поскольку функция $f(x)=x^3$$f(x)=x^{3}$  квазивыпукла, но не псевдовыпукла. Псевдовыпуклость представляют в первую очередь интерес, поскольку точка x* является локальным минимумом псевдовыпуклой функции ƒ тогда и только тогда, когда она является стационарной точкой функции ƒ, что случается при обращении градиента функции ƒ в нуль на x*:

$\mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}f(x^{\ast <!--\; \ast \; -->})=0.$$\nabla f(x^{*})=0.$ .

Обобщения на недиффиренцируемые функцииПравить

Понятие псевдовыпуклости может быть обобщено на недифференцируемые функции следующим образом. Если дана функция $f:X\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R}$$f:X\to \mathbb {R}$ , то можно определить её верхнюю производную Дини как

$f^{+}(x,u)=\underset{h\to <!--\; \to \; -->0^{+}}{lim sup}\frac{f(x+hu)-<!--\; -\; -->f(x)}{h}$$f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}}$ 

где u является любым единичным вектором. Говорят, что функция псевдовыпукла, если она возрастает в любом направлении, где верхняя производная Дини положительна. Более точно, её можно описать в терминах субдифференциала $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f$$\partial f$  следующим образом:

• Для всех $x,y\in <!--\; \in \; -->X$$x,y\in X$ , если существует $x^{\ast <!--\; \ast \; -->}\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}f(x)$$x^{*}\in \partial f(x)$ , такая что $⟨<!--\; ⟨\; -->x^{\ast <!--\; \ast \; -->},y-<!--\; -\; -->x⟩<!--\; ⟩\; -->⩾<!--\; ⩾\; -->0,$$\langle x^{*},y-x\rangle \geqslant 0\,,$  то $f(x)⩽<!--\; ⩽\; -->f(z)$$f(x)\leqslant f(z)$  для всех z на отрезке, соединяющем x и y.

Связанные понятияПравить

Псевдовогнутая функция — это функция, отрицательная для которой псевдовыпукла. Псевдолинейная функция — это функция, которая одновременно псевдовыпукла и псевдовогнута. Например, задачи дробно-линейного программирования имеют псевдолинейные целевые функции и линейные ограничения-неравенства. Эти свойства позволяют решать задачи дробного программирования вариантом симплекс-метода (Джорджа Б. Данцига).

См. такжеПравить

• Псевдовыпуклость^[en]