Процесс Гаусса — Маркова

Процесс Гаусса — Маркова (назван в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Андреевича Маркова) — это случайный процесс, который удовлетворяет требованиям как для гауссовского процесса, так и для марковского. Стационарный процесс Гаусса-Маркова также известен как процесс Орнштейна–Уленбека.

Основные свойстваПравить

Каждый процесс Гаусса-Маркова $X(t)$$X(t)$  обладает тремя следующими свойствами:

1. Если $h(t)$$h(t)$  ненулевая скалярная функция от $t$$t$ , то $z(t)=h(t)X(t)$$z(t)=h(t)X(t)$  также является процессом Гаусса-Маркова.
2. Если $f(t)$$f(t)$  неубывающая скалярная функция от $t$$t$ , то $z(t)=X(f(t))$$z(t)=X(f(t))$  также является процессом Гаусса-Маркова.
3. Если процесс невырожденный и непрерывный в среднеквадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция $h(t)$$h(t)$  и строго возрастающая скалярная функция $f(t)$$f(t)$  такие, что $X(t)=h(t)W(f(t))$$X(t)=h(t)W(f(t))$ , где $W(t)$$W(t)$  — стандартный винеровский процесс .

Свойство (3) означает, что любой невырожденный непрерывный в среднеквадратическом процесс Гаусса-Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса.

Прочие свойстваПравить

Стационарный процесс Гаусса-Маркова с дисперсией $\mathbf{\text{E}}(X^2(t))={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2$${\textbf {E}}(X^{2}(t))=\sigma ^{2}$  и постоянной времени ${\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^{-<!--\; -\; -->1}$$\beta ^{-1}$  обладает следующими свойствами.

• Экспоненциальная автокорреляция :

${\mathbf{\text{R}}}_x(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})={\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2{e}^{-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}|\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}|}.$${\textbf {R}}_{x}(\tau )=\sigma ^{2}e^{-\beta |\tau |}.\,$ 

• Функция спектральной плотности мощности, имеет ту же форму, что и распределение Коши:

${\mathbf{\text{S}}}_x(j\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->})=\frac{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{{\mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}}^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}.$${\textbf {S}}_{x}(j\omega )={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{\omega ^{2}+\beta ^{2}}}.\,$ 

(Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными коэффициентами.)

• Вышеупомянутое дает следующую спектральную факторизацию:

${\mathbf{\text{S}}}_x(s)=\frac{2{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}{-<!--\; -\; -->s^2+{\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}^2}=\frac{\sqrt{2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{(s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{\sqrt{2\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}}\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}{(-<!--\; -\; -->s+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})},$${\textbf {S}}_{x}(s)={\frac {2\sigma ^{2}\beta }{-s^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(s+\beta )}}\cdot {\frac {{\sqrt {2\beta }}\,\sigma }{(-s+\beta )}},$ 

что важно в винеровском оценивании и других областях.