Процесс с независимыми приращениями

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

ОпределениеПравить

Случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in <!--\; \in \; -->T}$$\{X_{t}\}_{t\in T}$ , где $T\subset <!--\; \subset \; -->[0,+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$T\subset [0,+\infty )$  называется процессом с независимыми приращениями, если для любых $t_0,t_1,\dots <!--\; \dots \; -->,t_n\in <!--\; \in \; -->T$$t_{0},t_{1},\ldots ,t_{n}\in T$  таких, что $0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}$ , случайные величины :$X_{t_0},X_{t_1}-<!--\; -\; -->X_{t_0},\dots <!--\; \dots \; -->,X_{t_n}-<!--\; -\; -->X_{t_{n-<!--\; -\; -->1}}$$X_{t_{0}},X_{t_{1}}-X_{t_{0}},\ldots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$  независимы.

ЗамечаниеПравить

• Пусть $T=\mathbb{N}\cup <!--\; \cup \; -->\{0\}$$T=\mathbb {N} \cup \{0\}$ . Положим $Y_n=X_n-<!--\; -\; -->X_{n-<!--\; -\; -->1},n\in <!--\; \in \; -->\mathbb{N}$$Y_{n}=X_{n}-X_{n-1},\;n\in \mathbb {N}$ . Тогда

$X_n=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{Y}_i$$X_{n}=\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}$ ,

и $\{Y_n{\}}_{n\ge <!--\; \ge \; -->1}$$\{Y_{n}\}_{n\geq 1}$  — независимые случайные величины.

СвойстваПравить

• Пусть $\{X_t{\}}_{t\in <!--\; \in \; -->T}$$\{X_{t}\}_{t\in T}$  — случайный процесс, а ${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{X_t-<!--\; -\; -->X_r}$$\phi _{X_{t}-X_{r}}$  — характеристическая функция случайной величины $X_t-<!--\; -\; -->X_r$$X_{t}-X_{r}$ , где $t>r$$t>r$ . Тогда $\{X_t\}$$\{X_{t}\}$  — процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда для любых $0\leq r<s<t<\infty$  и $u\in <!--\; \in \; -->\mathbb{R}$$u\in \mathbb {R}$  выполняется равенство:

${\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{X_t-<!--\; -\; -->X_r}(u)={\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{X_s-<!--\; -\; -->X_r}(u)\cdot <!--\; \cdot \; -->{\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_{X_t-<!--\; -\; -->X_s}(u)$$\phi _{X_{t}-X_{r}}(u)=\phi _{X_{s}-X_{r}}(u)\cdot \phi _{X_{t}-X_{s}}(u)$ .

• Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

ПримерыПравить

• Винеровский процесс;
• Пуассоновский процесс.