Противоположная теорема

Противоположная теорема — это утверждение, в котором условие и заключение исходной теоремы заменены их отрицаниями. Каждая теорема может быть выражена в форме импликации $A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->B$$A\Rightarrow B$, в которой посылка $A$$A$ является условием теоремы, а следствие $B$$B$ является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ является противоположной к ней. Здесь $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$$\overline {A}$ — отрицание $A$$A$, $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$${\overline {B}}$ — отрицание $B$$B$. Доказательство необходимости и достаточности условий $A$$A$ теоремы $A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->B$$A\Rightarrow B$ для её заключения $B$$B$ сводится к доказательству одной из двух противоположных теорем ($A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->B$$A\Rightarrow B$ и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$; $B\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->A$$B\Rightarrow A$ и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$) или одной из двух обратных теорем ($A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->B$$A\Rightarrow B$ и $B\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->A$$B\Rightarrow A$; $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}$${\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}}$ и $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}$${\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}}$).

Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то противоположная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является $A$$A$, а заключением $Y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z$$Y\Rightarrow Z$: $A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(Y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z)$$A\Rightarrow (Y\Rightarrow Z)$, то для противоположной теоремы существует пять форм:

1. $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z})$${\overline {A}}\Rightarrow ({\overline {Y\Rightarrow Z}})$
2. $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->Z})$${\overline {Y}}\Rightarrow ({\overline {A\Rightarrow Z}})$
3. $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A\mathrm{\&<!--\; \&\; -->}Y}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z}$${\overline {A\And Y}}\Rightarrow {\overline {Z}}$
4. $A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Y}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z})$$A\Rightarrow ({\overline {Y}}\Rightarrow {\overline {Z}})$
5. $Y\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{Z})$$Y\Rightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {Z}})$

СвойстваПравить

• Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной: $(A\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->B)\iff <!--\; \iff \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A})$$(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow ({\overline {B}}\Rightarrow {\overline {A}})$ 
• Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: $(B\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->A)\iff <!--\; \iff \; -->(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{A}\Rightarrow <!--\; \Rightarrow \; -->\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{B})$$(B\Rightarrow A)\Leftrightarrow ({\overline {A}}\Rightarrow {\overline {B}})$ 

ПримерыПравить

• Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$$a$ , $b$$b$  и $c$$c$  угол, противолежащий стороне $c$$c$ , прямой, то $a^2+b^2=c^2$$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ .

Противоположная к теореме Пифагора теорема может быть сформулирована следующим образом:

Если в треугольнике со сторонами длиной $a$$a$ , $b$$b$  и $c$$c$  угол, противолежащий стороне $c$$c$ , не является прямым, то $a^2+b^2\ne <!--\; \ne \; -->c^2$$a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$ .

См. такжеПравить

• Обратная теорема

ЛитератураПравить

• Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.