Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — целочисленная последовательность^[en], названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.

Числа ЯкобсталяПравить

Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

$U_n(P,Q),$$U_{n}(P,Q),$ 

для которой P = 1 и Q = −2. Последовательность начинается с чисел

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением

$J_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}$ 

Другие варианты рекуррентного задания последовательности:

• $J_{n+1}=2J_n+(-<!--\; -\; -->1{)}^n$$J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n}$ 
• $J_{n+1}=2^n-<!--\; -\; -->J_n$$J_{n+1}=2^{n}-J_{n}$ 

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

$J_n=\frac{2^n-<!--\; -\; -->(-<!--\; -\; -->1{)}^n}{3}.$$J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.$ 

Числа Якобсталя-ЛюкаПравить

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка $V_n(1,-<!--\; -\; -->2)$$V_{n}(1,-2)$ . Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями:

$j_{n}={\begin{cases}2,&n=0;\\1,&n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2},&n>1.\\\end{cases}}$ 

Альтернативная формула:

$j_{n+1}=2j_n-<!--\; -\; -->3(-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.$ 

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

$j_n=2^n+(-<!--\; -\; -->1{)}^n.$$j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.$ 

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …

ЛитератураПравить

• A. F. Horadam. Jacobsthal representation numbers (англ.) (May 1994).
• Paul Barry. Triangle Geometry and Jacobsthal Numbers (англ.), Irish Math. Soc. Bulletin (April 2003).
• Zvonko Čerin. Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers (англ.), Journal of Integer Sequences.

СсылкиПравить

• Последовательность A049883 в OEIS: простые числа Якобсталя