Простое число Вагстафа

В теории чисел простым числом Вагстафа (Wagstaff) называется простое число p вида

$p=\frac{2^q+1}{3}$$p={{2^{q}+1} \over 3}$

где q – другое простое число. Числа названы в честь математика Самуэля Вагстафа^[en] (Samuel S. Wagstaff Jr.) Сайт prime pages приписывает наименование чисел Франсуазу Морану (François Morain), который назвал их так на конференции Eurocrypt 1990. Простые числа Вагстафа имеют отношение к новой гипотезе Мерсенна^[en] и имеют приложение в криптографии.

ПримерыПравить

Три первых числа Вагстафа – это 3, 11 и 43, поскольку

${\begin{aligned}3&={2^{3}+1 \over 3},\\[5pt]11&={2^{5}+1 \over 3},\\[5pt]43&={2^{7}+1 \over 3}.\end{aligned}}$ 

Известные числа ВагстафаПравить

Первые несколько чисел Вагстафа:

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, … (последовательность A000979 в OEIS)

Несколько первых показателей q, которые порождают простые Вагстафа или вероятно простые:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, …, 13347311, 13372531, 15135397, … (последовательность A000978 в OEIS)

В феврале 2010 года Тони Рейх (Tony Reix) обнаружил вероятно простое число Вагстафа:

$\frac{2^{4031399}+1}{3}$${\frac {2^{4031399}+1}{3}}$ 

Оно состоит из 1 213 572 цифр и на тот момент являлось третьим наибольшим известным PRP.

В сентябре 2013 года Райан Проппер объявил о нахождении еще двух вероятно простых чисел Вагстафа:

$\frac{2^{13347311}+1}{3}$${\frac {2^{13347311}+1}{3}}$ 

$\frac{2^{13372531}+1}{3}$${\frac {2^{13372531}+1}{3}}$ 

Каждое из них является вероятно простым числом из чуть более чем 4 миллионов цифр. Они заняли 1-е и 2-е место в рейтинге наибольших известных PRP. При этом оставалось неизвестным, существуют ли еще какие-либо показатели степени между 4 031 399 и 13 347 311, которые являлись бы вероятно простыми числами Вагстафа.

В июне 2021 года Райан Проппер вновь объявил о рекорде:

$\frac{2^{15135397}+1}{3}$${\frac {2^{15135397}+1}{3}}$ 

Это число состоит из более чем 4.5 миллионов цифр и является на текущий момент наибольшим известным простым числом Вагстафа и третьим по величине PRP.

Проверка простотыПравить

Числа Вагстафа проверены на простоту для q вплоть до 83339. Числа с q > 83339 являются возможно простыми. Проверка простоты для q = 42737 была проведена Франсуа Мораном (François Morain) в 2007 году в проекте распределенных вычислений ECPP, реализованном на нескольких сетях станций, работающих на процессоре Opteron. Это было четвертое по величине значение, проверенное в ECPP к 2010-му году.

На текущий момент самым быстрым алгоритмом проверки простоты чисел Вагстафа является ECPP.

СсылкиПравить

• John Renze and Eric W. Weisstein. Wagstaff prime (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Wagstaff at The Prime Pages.
• Renaud Lifchitz, "An efficient probable prime test for numbers of the form (2^p + 1)/3".
• Tony Reix, "Three conjectures about primality testing for Mersenne, Wagstaff and Fermat numbers based on cycles of the Digraph under x² − 2 modulo a prime".