Каноническое преобразование

В гамильтоновой механике каноническое преобразование (также контактное преобразование) — это преобразование канонических переменных, не меняющее общий вид уравнений Гамильтона для любого гамильтониана. Канонические преобразования могут быть введены и в квантовом случае как не меняющие вид уравнений Гейзенберга. Они позволяют свести задачу с определённым гамильтонианом к задаче с более простым гамильтонианом как в классическом, так и в квантовом случае. Канонические преобразования образуют группу.

Определение Править

Преобразования

$Q_i=Q_i(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_s,p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_s,t),$$Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$ 

$P_i=P_i(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_s,p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_s,t),$$P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t),$ 

$j=1,\dots <!--\; \dots \; -->,s,$$j=1,\ldots ,s,$ , где $s$$s$  — число степеней свободы,

$\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(Q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,Q_s;P_1,\dots <!--\; \dots \; -->,P_s)}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_s;p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_s)}\ne <!--\; \ne \; -->0,$${\frac {\partial (Q_{1},\ldots ,Q_{s};P_{1},\ldots ,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots ,q_{s};p_{1},\ldots ,p_{s})}}\neq 0,$ 

называются каноническими, если это преобразование переводит уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $H$$H$ :

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{p}}_i=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{q}_i},$${\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},$ 

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{q}}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}H}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{p}_i},$${\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},$ 

в уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона $\mathcal{H}$${\mathcal {H}}$ :

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{P}}_i=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{Q}_i},$${\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},$ 

${\stackrel{\dot{}<!--\; \dot{}\; -->}{Q}}_i=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\mathcal{H}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{P}_i}.$${\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.$ 

Переменные $Q_i$$Q_{i}$  и $P_i$$P_{i}$  называются новыми координатами и импульсами, соответственно, а $q_i$$q_{i}$  и $p_i$$p_{i}$  — старыми координатами и импульсами.

Производящие функции Править

Из инвариантности интеграла Пуанкаре — Картана и теоремы Ли Хуа-чжуна о его единственности можно получить:

$\underset{i=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{P}_{i}d{Q}_i-<!--\; -\; -->\mathcal{H}dt-<!--\; -\; -->c\left(\underset{i=1}{\overset{s}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{p}_{i}d{q}_i-<!--\; -\; -->Hdt\right)=-<!--\; -\; -->dF,$$\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^{s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,$ 

где постоянную $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$  называют валентностью канонического преобразования, $dF$$dF$  — полный дифференциал некоторой функции $F(q_1,\dots <!--\; \dots \; -->,q_s,p_1,\dots <!--\; \dots \; -->,p_s,t)$$F(q_{1},\ldots ,q_{s},p_{1},\ldots ,p_{s},t)$  (предполагается, что $P_i$$P_{i}$  и $Q_i$$Q_{i}$  также выражены через старые переменные). Она называется производящей функцией канонического преобразования. Канонические преобразования взаимнооднозначно определяются производящей функцией и валентностью.

Канонические преобразования для которых $c=1$$c=1$  называется унивалентными. Так как при заданной производящей функции различные $c$$c$  изменяют выражения для новых координат через старые, а также для гамильтониана только на константу, то часто рассматривают только унивалентные канонические преобразования.

Производящая функция часто может быть выражена не через старые координаты и импульсы, а через любые две из четырёх переменных $p_i,q_i,Q_i,P_i$$p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i}$ , причём выбор независим для каждого $i=1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,s$$i=1,\cdots ,s$ . Удобным оказывается выразить её так, чтобы для каждого $i$$i$  одна переменная была новой, а другая старой. Существует лемма, утверждающая, что это можно сделать всегда. Дифференциал функции $F$$F$  имеет явный вид полного дифференциала в том случае, когда она выражена через старые и новые координаты $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_1(q,Q,t)$$F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ . При использовании других пар координат удобно перейти к функциям, дифференциал которых будет иметь явный вид полного дифференциала для соответствующих переменных. Для этого нужно сделать преобразования Лежандра исходной функции $F$$F$ . Полученные функции называют производящими функциями канонического преобразования в соответствующих координатах. В случае когда выбор координат одинаков для всех $i$$i$  возможны четыре варианта выбора переменных, соответствующие функции принято обозначать номерами:

$F_1(q,Q,t),F_2(q,P,t),F_3(p,Q,t),F_4(p,P,t),$$F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}(p,P,t),$ 

где для простоты введены векторы старых координат и импульсов $q=(q_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,q_2)$$q=(q_{1},\cdots ,q_{2})$  $p=(p_1,\cdots <!--\; \cdots \; -->,p_2)$$p=(p_{1},\cdots ,p_{2})$ , , аналогично и для новых координат и импульсов. О таких производящих функциях говорят как о производящих функциях 1-го, 2-го, 3-го или 4-го типа соответственно.

Производящая функция 1-го типа Править

Пусть $F_1(q,Q,t)$$F_{1}(q,Q,t)$  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых координат и времени:

$det\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{F}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0,$$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,$ 

кроме того, задано некоторое число $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ , тогда пара $(F_1,c)$$(F_{1},c)$  задаёт каноническое преобразование по правилу

$p=\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q},$$p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q}},$ 

$P=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q},$$P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}},$ 

$\mathcal{H}=cH+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_1}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.$${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.$ 

Связь с исходной производящей функцией:

$F_1(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).$$F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).$ 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$det\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)\neq 0.$ 

Канонические преобразования, дополненные этим условием называют свободными.

Производящая функция 2-го типа Править

Пусть $F_2(q,P,t)$$F_{2}(q,P,t)$  — произвольная невырожденная функция старых координат, новых импульсов и времени:

$det\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{F}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.$ 

кроме того, задано некоторое число $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ , тогда пара $(F_2,c)$$(F_{2},c)$  задаёт каноническое преобразование по правилу

$p=\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q},$$p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q}},$ 

$Q=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P},$$Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P}},$ 

$\mathcal{H}=cH+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_2}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.$${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.$ 

Связь с исходной производящей функцией:

$F_2(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).$$F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).$ 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$det\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)\neq 0.$ 

Производящая функция 3-го типа Править

Пусть $F_3(p,Q,t)$$F_{3}(p,Q,t)$  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых координат и времени:

$det\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{F}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.$ 

кроме того, задано некоторое число $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ , тогда пара $(F_3,c)$$(F_{3},c)$  задаёт каноническое преобразование по правилу

$q=-<!--\; -\; -->\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p},$$q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p}},$ 

$P=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q},$$P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q}},$ 

$\mathcal{H}=cH+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_3}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.$${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.$ 

Связь с исходной производящей функцией:

$F_3(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-<!--\; -\; -->cpq(p,Q,t).$$F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).$ 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$det\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}Q}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)\neq 0.$ 

Производящая функция 4-го типа Править

Пусть $F_4(p,P,t)$$F_{4}(p,P,t)$  — произвольная невырожденная функция старых импульсов, новых импульсов и времени:

$det\left(\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^2{F}_4}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.$ 

кроме того, задано некоторое число $c\ne <!--\; \ne \; -->0$$c\neq 0$ , тогда пара $(F_4,c)$$(F_{4},c)$  задаёт каноническое преобразование по правилу

$q=-<!--\; -\; -->\frac{1}{c}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_4}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}p},$$q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p}},$ 

$Q=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_4}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P},$$Q={\frac {\partial F_{4}}{\partial P}},$ 

$\mathcal{H}=cH+\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{F}_4}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}.$${\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.$ 

Связь с исходной производящей функцией:

$F_4(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-<!--\; -\; -->cpq(p,P,t).$$F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p,P,t).$ 

Каноническое преобразование может быть получено с помощью такой функции, если не равен нулю якобиан:

$det\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}P}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}q}\right)\ne <!--\; \ne \; -->0.$$\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.$ 

Примеры Править

1. Тождественное преобразование

$Q=q,$$Q=q,$ 

$P=p,$$P=p,$ 

$\mathcal{H}=H$${\mathcal {H}}=H$ 

может быть получено при:

$F_2=qP,c=1.$$F_{2}=qP,\quad c=1.$ 

2. Если задать

$F_1=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}qQ,c=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->},$$F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta ,$ 

то полученное преобразование будет иметь вид:

$Q=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}p,$$Q=\alpha p,$ 

$P=\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}q.$$P=\beta q.$ 

$\mathcal{H}=-<!--\; -\; -->\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}H$${\mathcal {H}}=-\alpha \beta H$ 

Таким образом, разделение канонических переменных на координаты и импульсы с математической точки зрения является условным.

3. Преобразование инверсии

$Q=-<!--\; -\; -->q,$$Q=-q,$ 

$P=-<!--\; -\; -->p,$$P=-p,$ 

$\mathcal{H}=H$${\mathcal {H}}=H$ 

может быть получено при:

$F_2=-<!--\; -\; -->qP,c=1.$$F_{2}=-qP,\quad c=1.$ 

4. Точечные преобразования (преобразования при которых новые координаты выражаются только через старые координаты и время, но не старые импульсы.)

Они всегда могут быть заданы с помощью:

$F_2=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(q,t)P,c=1,$$F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,$ 

тогда

$Q=\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(q,t).$$Q=\varphi (q,t).$ 

В частности, если

$F_2=(Aq,P),c=1,$$F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,$ 

где $A,$$A,$  — ортогональная матрица:

$A^{T}A=E,$$A^{T}A=E,$ 

то

$Q=Aq,$$Q=Aq,$ 

$P=A^{T}p.$$P=A^{T}p.$ 

К точечным преобразования приводит и функция:

$F_3=\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(Q,t)p,c=1,$$F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,$ 

тогда

$q=-<!--\; -\; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}(Q,t).$$q=-\phi (Q,t).$ 

В частности функция

$F_3=-<!--\; -\; -->p_x\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\cos <!--\; \; -->\mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}-<!--\; -\; -->p_y\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\sin <!--\; \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->p_{z}z,c=1,$$F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,$ 

задаёт переход от декартовых координат к цилиндрическим.

5. Линейные преобразования переменных $(p,q)$$(p,q)$  системы с одной степенью свободы:

$Q=\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}q+\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}p$$Q=\alpha q+\beta p$ 

$P=\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}q+\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}p$$P=\gamma q+\delta p$ 

является унивалентным каноническим преобразованием при

$\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=1,$$\alpha \delta -\beta \gamma =1,$ 

производящая функция:

$F=-<!--\; -\; -->\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}pq-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}{q}^2-<!--\; -\; -->\frac{1}{2}\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}{p}^2.$$F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2}.$ 

Такие преобразования образуют специальную линейную группу $SL(2,\mathbb{R})$$SL(2,\mathbb {R} )$ .

Действие как производящая функция Править

Действие, выраженное как функция координат и импульсов конечной точки

$\mathcal{S}=\int <!--\; \int \; -->pdq-<!--\; -\; -->Hdt$${\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt$ 

задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы.

Скобки Пуассона и Лагранжа Править

Необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Пуассона:

$\{P_i(q,p,t),P_k(q,p,t)\}=0,$$\lbrace P_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,$ 

$\{Q_i(q,p,t),Q_k(q,p,t)\}=0,$$\lbrace Q_{i}(q,p,t),Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,$ 

$\{Q_i(q,p,t),P_k(q,p,t)\}=c{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ik}.$$\lbrace Q_{i}(q,p,t),P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.$ 

Кроме того, необходимым и достаточным условием каноничности преобразования является выполнение для произвольных функций $f(Q,P,t)$$f(Q,P,t)$  и $g(Q,P,t)$$g(Q,P,t)$  условия:

$\{f,g{\}}_{pq}=c\{f,g{\}}_{PQ},$$\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},$ 

где под $\{\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->{\}}_{pq}$$\lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq}$  и $\{\cdot <!--\; \cdot \; -->,\cdot <!--\; \cdot \; -->{\}}_{PQ}$$\lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ}$  понимаются скобки Пуассона по старым и новым координатам соответственно.

В случае унивалентных канонических преобразований:

$\{f,g{\}}_{pq}=\{f,g{\}}_{PQ}$$\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}$ 

и говорят, что скобки Пуассона инвариантны относительно таких преобразований. Иногда канонические преобразования так определяют (при этом каноническими преобразованиями считают только унивалентные).

Аналогично, необходимое и достаточное условие каноничности преобразований может быть записано с помощью скобок Лагранжа:

$[p_i,p_k]=0,$$[p_{i},p_{k}]=0,$ 

$[q_i,q_k]=0,$$[q_{i},q_{k}]=0,$ 

$[q_i,p_k]=c{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}}_{ik}.$$[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.$ 

Литература Править

• Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
  Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Ландау Л. Д., Лифшиц E. M. §46. Канонические преобразования. Глава VII. Канонические уравнения. // Механика. — 5-е изд., стереотипное. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 224 с. — 3000 экз. — ISBN 5-9221-0055-6. Книга в электронной библиотеке мехмата МГУ
• Гантмахер Ф. Р.  Лекции по аналитической механике. 3-е изд. — М.: Физматлит, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X..
• Ольховский И. И.  Курс теоретической механики для физиков. 4-е изд. — СПб.: Лань, 2009. — 576 с. — ISBN 978-5-8114-0857-3..