Производная Римана

Производная Римана, производная Шварца или вторая симметрическая производная , функции $f(x)$$f(x)$ в точке $x_0$$x_{0}$ — предел

$D^{2}f=\underset{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0}{lim}\frac{f(x_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})-<!--\; -\; -->2f(x_0)+f(x_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}$$D^{2}f=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}$

Связанные определенияПравить

Верхний и нижний пределы

$\frac{f(x_0-<!--\; -\; -->\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})-<!--\; -\; -->2f(x_0)+f(x_0+\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->})}{{\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}^2}$${\frac {f(x_{0}-\varepsilon )-2f(x_{0})+f(x_{0}+\varepsilon )}{\varepsilon ^{2}}}$ 

при $\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\to <!--\; \to \; -->0$$\varepsilon \to 0$  называются соответственно верхней ${\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{D}}^{2}f(x_0)$${\bar {D}}^{2}f(x_{0})$  и нижней ${\underset{\_<!--\; \_\; -->}{D}}_{2}f(x_0)$${\underline {D}}_{2}f(x_{0})$  производной Римана.

СвойстваПравить

• Если в точке $x_0$$x_{0}$  существует 2-я производная $f^{″}(x_0$$f''(x_{0}$ ), то существует производная Римана и $D^{2}f(x_0)=f^{″}(x_0)$$D^{2}f(x_{0})=f''(x_{0})$ .
  • Обратное неверно.

ИсторияПравить

Введена Риманом в 1854, производная Римана получила широкое применение в теории представления функций тригонометрическими рядами; в частности, в связи с методом суммирования Римана.