Производная Пеано

Производная Пеано ― одно из обобщений понятия производной.

Пусть имеет место равенство

$f(x)=a_0+a_1(x-<!--\; -\; -->x_0)+\cdots <!--\; \cdots \; -->+\frac{a_r}{r!}(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^r+\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(x)(x-<!--\; -\; -->x_0{)}^r$$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots +{\frac {a_{r}}{r!}}(x-x_{0})^{r}+\gamma (x)(x-x_{0})^{r}$

где $a_0,a_1,\dots <!--\; \dots \; -->,a_r$$a_{0},a_{1},\dots ,a_{r}$ ― постоянные и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(x)\to <!--\; \to \; -->0$$\gamma (x)\to 0$ при $x\to <!--\; \to \; -->x_0$$x\to x_0$ и $\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}(x_0)=0$$\gamma (x_{0})=0$. Тогда число $a_r$$a_{r}$ называется обобщенной производной Пеано порядка $r$$r$ функции $f$$f$ в точке $x_0$$x_{0}$.

Обозначение: $f_{(r)}(x_0)=a_r$$f_{{(r)}}(x_{0})=a_{r}$, в частности $f_{(0)}(x_0)=f(x_0)$$f_{{(0)}}(x_{0})=f(x_{0})$, $f_{(1)}(x_0)=f^{\prime }(x_0)$$f_{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})$.

СвойстваПравить

• Если существует $f^{(r)}(x_0)$$f^{{(r)}}(x_{0})$ , то существует и $f_{(k)}(x_0)$$f_{{(k)}}(x_{0})$  для $k\le <!--\; \le \; -->r$$k\leq r$ .

• Если существует конечная обычная двусторонняя производная $f^{(r)}(x_0)$$f^{{(r)}}(x_{0})$ , то $f_{(r)}(x_0)=f^{(r)}(x_0)$$f_{{(r)}}(x_{0})=f^{{(r)}}(x_{0})$ . Обратное неверно при $r>1$$r>1$ : для функции $f(x)=x^{n}D(x)$$f(x)=x^{n}D(x)$ , где $D$$D$  — функция Дирихле все $f_{(r)}(0)=0$$f_{{(r)}}(0)=0$  для $r<n$  тогда как $f^{(r)}(0)$$f^{{(r)}}(0)$  не определена для всех $r>1$$r>1$ .