Производная Дини

В анализе функций действительных переменных производные Дини — это одно из обобщений понятия производной.

Верхняя производная Дини непрерывной функции

$f:\mathbb{R}\to <!--\; \to \; -->\mathbb{R},$$f:{{\mathbb R}}\rightarrow {{\mathbb R}},$

обозначается через $f_{+}^{\prime }$$f'_{+}$ и определяется как

$f_{+}^{\prime }(t)\triangleq <!--\; \triangleq \; -->\underset{h\to <!--\; \to \; -->0+}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{f(t+h)-<!--\; -\; -->f(t)}{h}$$f'_{+}(t)\triangleq \varlimsup _{{h\to {0+}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$,

где $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }$$\varlimsup$ есть верхний частичный предел.

Нижняя производная Дини, $f_{-<!--\; -\; -->}^{\prime },$$f'_{-},$ определяется как

$f_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }(t)\triangleq <!--\; \triangleq \; -->\underset{h\to <!--\; \to \; -->0+}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{f(t+h)-<!--\; -\; -->f(t)}{h}$$f'_{-}(t)\triangleq \varliminf _{{h\to {0+}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$,

где $\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }$$\varliminf$ есть нижний частичный предел.

Если $f$$f$ определена на векторном пространстве, тогда верхняя производная Дини в точке $t$$t$ по направлению $d$$d$ определяется как

$f_{+}^{\prime }(t,d)\triangleq <!--\; \triangleq \; -->\underset{h\to <!--\; \to \; -->0+}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{f(t+hd)-<!--\; -\; -->f(t)}{h}.$$f'_{+}(t,d)\triangleq \varlimsup _{{h\to {0+}}}{\frac {f(t+hd)-f(t)}{h}}.$

Если $f$$f$ локально липшицева (то есть у каждой точки существует окрестность, ограничение $f$$f$ на которую — липшицева функция), то $f_{+}^{\prime }$$f'_{+}$ конечна. Если $f$$f$ дифференцируема в точке $t$$t$, тогда производная Дини в этой точке совпадает с обычной производной в $t$$t$.

ПримечанияПравить

• Иногда используют обозначение $D^{+}f(t)$$D^{+}f(t)$  вместо $f_{+}^{\prime }(t),$$f'_{+}(t),$  и $D_{+}f(t)$$D_{+}f(t)$  используется вместо $f_{-<!--\; -\; -->}^{\prime }(t).$$f'_{-}(t).$ 

• Также используют обозначения

$D^{-<!--\; -\; -->}f(t)\triangleq <!--\; \triangleq \; -->\underset{h\to <!--\; \to \; -->0-<!--\; -\; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{f(t+h)-<!--\; -\; -->f(t)}{h}$$D^{-}f(t)\triangleq \varlimsup _{{h\to {0-}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$ 

и

$D_{-<!--\; -\; -->}f(t)\triangleq <!--\; \triangleq \; -->\underset{h\to <!--\; \to \; -->0-<!--\; -\; -->}{\underset{\_<!--\; \_\; -->}{\lim }}<!--\; \; -->\frac{f(t+h)-<!--\; -\; -->f(t)}{h}$$D_{-}f(t)\triangleq \varliminf _{{h\to {0-}}}{\frac {f(t+h)-f(t)}{h}}$ 

• Таким образом, когда используется $D$$D$ -нотация производных Дини, знаки плюс и минус обозначают левосторонний или правосторонний предел, а положение знака указывают на тип производной (верхняя или нижняя).

• На расширенной числовой прямой каждая из производных Дини всегда существует, однако они могут иногда принимать значения $+\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$+\infty$  или $-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}$$-\infty$ 

ЛитератураПравить

• Royden, H.L. Real analysis (неопр.). — 2nd. — MacMillan, 1968. — ISBN 978-0-02-404150-0.