Проблема якобиана

Проблема якобиана — проблема о свойствах полиномов нескольких переменных.

УсловияПравить

Рассмотрим набор полиномов с комплексными коэффициентами от переменных $\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}=X_1,X_2,...,X_N$${\overline {X}}=X_{1},X_{2},...,X_{N}$ :

$f_1,f_2,...,f_N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}[X_1,X_2,...,X_N](1)$$f_{1},f_{2},...,f_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]\qquad (1)$ 

Предположим, что для любого набора $(b_1,b_2,...,b_N)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^N$$(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$  система уравнений

$f_1=b_1,f_2=b_2,...,f_N=b_N$$f_{1}=b_{1},f_{2}=b_{2},...,f_{N}=b_{N}$ 

имеет единственное решение $(a_1,a_2,...,a_N)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^N$$(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$  и существуют такие многочлены

$g_1,g_2,g_3,...g_N\in <!--\; \in \; -->\mathbb{C}[X_1,X_2,...,X_N]$$g_{1},g_{2},g_{3},...g_{N}\in \mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$ ,

что каждое $a_i=g_i(b_1,b_2,...,b_N)$$a_{i}=g_{i}(b_{1},b_{2},...,b_{N})$ . Предполагается, что многочлены $g_1,g_2,...,g_N$$g_{1},g_{2},...,g_{N}$  не зависят от набора свободных членов $(b_1,b_2,...,b_N)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^N$$(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$ . Это эквивалентно тому, что каждый многочлен из $\mathbb{C}[X_1,X_2,...,X_N]$$\mathbb {C} [X_{1},X_{2},...,X_{N}]$  однозначно представляется в виде многочлена от $f_1,f_2,...f_N$$f_{1},f_{2},...f_{N}$  (и от $g_1,g_2,...g_N$$g_{1},g_{2},...g_{N}$ ). Система (1) задаёт полиномиальное отображение $f:{\mathbb{C}}^N\to <!--\; \to \; -->{\mathbb{C}}^N$$f:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow \mathbb {C} ^{N}$ , при котором

$f(a_1,...,a_N)=(f_1(a_1,...,a_N),f_2(a_1,...,a_N),...,f_N(a_1,...,a_N))=(b_1,b_2,...,b_N)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^N(2)$$f(a_{1},...,a_{N})=(f_{1}(a_{1},...,a_{N}),f_{2}(a_{1},...,a_{N}),...,f_{N}(a_{1},...,a_{N}))=(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}\qquad (2)$ .

Отображение $f$$f$  является взаимно однозначным. Кроме того, обратное отображение $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{-1}$ , переводящее $(b_1,b_2,...,b_N)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^N$$(b_{1},b_{2},...,b_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$  в

$f^{-<!--\; -\; -->1}(b_1,...,b_N)=(g_1(b_1,...,b_N),g_2(b_1,...,b_N),...,g_N(b_1,...,b_N))=(a_1,a_2,...,a_N)\in <!--\; \in \; -->{\mathbb{C}}^N$$f^{-1}(b_{1},...,b_{N})=(g_{1}(b_{1},...,b_{N}),g_{2}(b_{1},...,b_{N}),...,g_{N}(b_{1},...,b_{N}))=(a_{1},a_{2},...,a_{N})\in \mathbb {C} ^{N}$ 

также является полиномиальным.

Сопоставим произвольному полиномиальному отображению вида (2) квадратную матрицу (якобиан отображения $f$$f$ ) $J(f)(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})$$J(f)({\overline {X}})$  размера $N$$N$ , в которой на месте $(i,j)$$(i, j)$  стоит частная производная $\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{f}_i/\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{X}_J$$\partial f_{i}/\partial X_{J}$ . Зададим другое полиномиальное отображение $h:{\mathbb{C}}^N\to <!--\; \to \; -->C^N$$h:\mathbb {C} ^{N}\rightarrow C^{N}$  и рассмотрим их композицию $fh$$fh$ , матрица Якоби которой равна

$J(fh)(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})=J(f)(h(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}))J(h)(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})$$J(fh)({\overline {X}})=J(f)(h({\overline {X}}))J(h)({\overline {X}})$ .

Вычисляя определители, получаем, что

$det(J(fh))(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})=det(J(f))(h(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}))det(J(h))(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})$$\det(J(fh))({\overline {X}})=\det(J(f))(h({\overline {X}}))\det(J(h))({\overline {X}})$ .

В частности, если заданы полиномиальные отображения $f$$f$  и $f^{-<!--\; -\; -->1}$$f^{{-1}}$ , то их композиция является тождественным отображением. Поэтому единичная матрица $E=J(f^{-<!--\; -\; -->1}f)(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})=J(f^{-<!--\; -\; -->1})(f(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X}))J(f)(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})$$E=J(f^{-1}f)({\overline {X}})=J(f^{-1})(f({\overline {X}}))J(f)({\overline {X}})$ , тогда при переходе к определителю единица равна произведению многочленов, следовательно, эти многочлены равны константам, в частности,

$det(J(f))(\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{X})$$\det(J(f))({\overline {X}})$ 

является ненулевой константой.

ФормулировкаПравить

Проблема якобиана состоит в решении обратной задачи. Пусть задано полиномиальное отображение $f$$f$  вида (2), причем $det(J(f))$$\det(J(f))$  является ненулевой константой. Верно ли, что существует обратное полиномиальное отображение? Можно ли представить каждый многочлен из $C[X_1,X_2,...,X_N]$$C[X_{1},X_{2},...,X_{N}]$  в виде многочлена от $f_1,f_2,...,f_n$$f_{1},f_{2},...,f_{n}$ ?

РезультатыПравить

До 2022 года проблема была решена для случая, когда $N=2$$N=2$  и степени $f_1,f_2$$f_{1},f_{2}$  не выше 150, а также если $N$$N$  любое, но степени всех многочленов $f_1,f_2,...,f_N$$f_{1},f_{2},...,f_{N}$  не выше 2. Кроме того, для доказательства общего утверждения, достаточно было доказать его для случая, когда каждое $f_i$$f_{i}$  является многочленом степени не выше 3.

ЛитератураПравить

1. В. А. Артамонов О решённых и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 3, с. 110—113;