Принцип Мопертюи

Принцип Мопертюи — принцип, согласно которому консервативная голономная система в классической механике изменяет своё состояние так, чтобы интеграл от корня квадратного её кинетической энергии был минимален на траектории движения. Назван по имени автора — Пьера Мопертюи.

ФормулировкаПравить

Рассмотрим консервативную голономную систему с энергией $E$$E$  и потенциальной энергией $U$$U$ . Тогда изменение её состояния происходит таким образом, чтобы $\int <!--\; \int \; -->\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}ds=min$$\int {\sqrt {E-U}}ds=min$ .

ДоказательствоПравить

Рассмотрим вариацию $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}\int <!--\; \int \; -->\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}ds=\int <!--\; \int \; -->\left\{\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}ds-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U}{2\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}}ds\right\}=0$$\delta \int {\sqrt {E-U}}ds=\int \left\{{\sqrt {E-U}}\delta ds-{\frac {\delta U}{2{\sqrt {E-U}}}}ds\right\}=0$ . Воспользуемся равенствами $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}ds=\frac{dx}{ds}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}dx$$\delta ds={\frac {dx}{ds}}\delta dx$  и $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}U=\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}x$$\delta U={\frac {\partial U}{\partial x}}\delta x$ . Получим $\int <!--\; \int \; -->\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\frac{dx}{ds}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}dx-<!--\; -\; -->\int <!--\; \int \; -->\frac{\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}}{2\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}xds=0$$\int {\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx-\int {\frac {\frac {\partial U}{\partial x}}{2{\sqrt {E-U}}}}\delta xds=0$ . Интегрируя первое слагаемое по частям, получаем: ${\int <!--\; \int \; -->}_1^2\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\frac{dx}{ds}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}dx=\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\frac{dx}{ds}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}x{|}_1^2-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_1^2\frac{d}{ds}\left\{\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\frac{dx}{ds}\right\}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}xds$$\int _{1}^{2}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta dx={\Bigl .}{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\delta x{\Bigr |}_{1}^{2}-\int _{1}^{2}{\frac {d}{ds}}\left\{{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right\}\delta xds$ . Первый член обращается в нуль вследствие вариаций $\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}x$$\delta x$  на концах отрезка интегрирования. Вследствие этого получаем выражение для вариации действия $\int <!--\; \int \; -->\left\{\frac{d}{ds}\left[\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\frac{dx}{ds}\right]+\frac{1}{2\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}\right\}\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}xds=0$$\int \left\{{\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]+{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}\right\}\delta xds=0$  Подынтегральное выражение должно быть равно нулю вследствие произвольности вариации. Получаем $\frac{d}{ds}\left[\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}\frac{dx}{ds}\right]=-<!--\; -\; -->\frac{1}{2\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$${\frac {d}{ds}}\left[{\sqrt {E-U}}{\frac {dx}{ds}}\right]=-{\frac {1}{2{\sqrt {E-U}}}}{\frac {\partial U}{\partial x}}$ . С учётом равенств $V=\sqrt{\frac{2}{m}}\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}$$V={\sqrt {\frac {2}{m}}}{\sqrt {E-U}}$ , $dt=\frac{ds}{V}=\sqrt{\frac{m}{2}}\frac{ds}{\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}}$$dt={\frac {ds}{V}}={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {ds}{\sqrt {E-U}}}$  получим правильные уравнения движения $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}U}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {\partial U}{\partial x}}$ . Этим доказывается справедливость принципа $\int <!--\; \int \; -->\sqrt{E-<!--\; -\; -->U}ds=min$$\int {\sqrt {E-U}}ds=min$ .

ЛитератураПравить

• Ферми Э. Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Лебедев А. К. Справочник по физике. — М.: Оникс, 2007. — 1056 с. — ISBN 978-5-488-01248-6.