Принцип Дюамеля

В математике, а более конкретно в дифференциальных уравнениях, принцип Дюамеля позволяет найти решение неоднородного волнового уравнения, а также неоднородного уравнения теплопроводности. Он назван в честь Жан-Мари Констан Дюамеля (1797—1872), французского математика.

Дано неоднородное волновое уравнение:

$u_{tt}-<!--\; -\; -->c^2{u}_{xx}=f(x,t)$$u_{tt}-c^{2}u_{xx}=f(x,t)$

с начальными условиями

$u(x,0)=u_t(x,0)=0.$$u(x,0)=u_{t}(x,0)=0.$

Решение имеет вид:

$u(x,t)=\frac{1}{2c}{\int <!--\; \int \; -->}_0^t{\int <!--\; \int \; -->}_{x-<!--\; -\; -->c(t-<!--\; -\; -->s)}^{x+c(t-<!--\; -\; -->s)}f(\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->},s)d\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}ds.$$u(x,t)={\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-s)}^{x+c(t-s)}f(\xi ,s)\,d\xi \,ds.$

Для линейного ОДУ с постоянными коэффициентамиПравить

Принцип Дюамеля говорит, что решение неоднородного линейного уравнения в частных производных может быть найдено путём нахождения решения для однородного уравнения, а затем подстановкой его в интеграл Дюамеля. Предположим, у нас есть неоднородное обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами порядка m:

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t)u(t)=F(t)$$P(\partial _{t})u(t)=F(t)$ 

${\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^{j}u(0)=0,0\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->m-<!--\; -\; -->1$$\partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1$ 

где

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t):=a_m{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^m+\cdots <!--\; \cdots \; -->+a_1{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t+a_0,a_m\ne <!--\; \ne \; -->0.$$P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.$ 

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t)G=0,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^{j}G(0)=0,0\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->m-<!--\; -\; -->2,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^{m-<!--\; -\; -->1}G(0)=1/a_m.$$P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.$ 

Определим $H=G{\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$$H=G\chi _{[0,\infty )}$ , ${\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}$$\chi _{[0,\infty )}$  - характеристическая функция на интервале $[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})$$[0,\infty)$ . Тогда

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t)H=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}$$P(\partial _{t})H=\delta$ 

есть обобщённая функция.

$u(t)=(H\ast <!--\; \ast \; -->F)(t)$$u(t)=(H\ast F)(t)$ 

$={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})F(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau$ 

$={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{t}G(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau$ 

есть решение ОДУ.

Для уравнений в частных производныхПравить

Пусть есть неоднородное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами:

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t,D_x)u(t,x)=F(t,x)$$P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)$ 

где

$D_x=\frac{1}{i}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}x}$$D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}$ 

Мы можем решить сначала однородное ОДУ, используя следующие методы. Все шаги делаются формально, игнорируя требования, необходимые для того, чтобы решение было четко определено.

Сначала, используя Преобразование Фурье в x имеем

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{u}(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}).$$P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).$ 

где $P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$P(\partial _{t},\xi )$  это ОДУ порядка m по t. Пусть $a_m$$a_{m}$  это коэффициент слагаемого наивысшего порядка в $P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$P(\partial _{t},\xi )$ .

Для каждого $\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}$$\xi$  решим $G(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})$$G(t,\xi )$ 

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})G(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^{j}G(0,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=0\text{ for }0\le <!--\; \le \; -->j\le <!--\; \le \; -->m-<!--\; -\; -->2,{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t^{m-<!--\; -\; -->1}G(0,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=1/a_m.$$P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\mbox{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.$ 

Определим $H(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=G(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}){\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_{[0,\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->})}(t)$$H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)$ . Тогда

$P({\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}_t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})H(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(t)$$P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)$ 

есть обобщённая функция.

$\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{u}(t,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})=(H(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{F}(\cdot <!--\; \cdot \; -->,\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->}))(t)$${\hat {u}}(t,\xi )=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)$ 

$={\int <!--\; \int \; -->}_0^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}G(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})F(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi )F(t-\tau ,\xi )\,d\tau$ 

$={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{t}G(t-<!--\; -\; -->\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})F(\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->},\mathrm{\xi <!--\; \xi \; -->})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}$$=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi )F(\tau ,\xi )\,d\tau$ 

есть решение уравнения (после перехода назад к x).